放物線C1:y＝－1/2x²＋2/5と円C2:x²＋y²＝r²(r＞0)は異なる2点P1,P2で接し

放物線C1:y＝－1/2x²＋2/5と円C2:x²＋y²＝r²(r＞0)は異なる2点P1,P2で接しているものとする。
（点Pで接する･･･点Pで共通の接戦をもつ）

（1）接点P1、P2のうちx座標が正である点をP1とす る。
（ⅰ）点P1の座標を求めよ
（ⅱ） P1での共通接戦の方程式を求めよ
（ⅲ）rの値を求めよ

（2）放物線C1とC2で囲まれた部分の面積Sを求めよ

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No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/09/10 22:03

No.1さんの言われるように、放物線C1:y＝－(1/2)x²＋(5/2) だとうまくいくので、それでいきます。

(1)P1の座標を(α、β)とする。題意より、α＞0
円C2の接線の式は αx＋βy＝r^2
y＝－(α/β)x＋r^2/β・・・①

放物線C1の接線の式を求める。
y'＝－xより、
y＝－α(x－α)＋β
y＝－αx＋α^2＋β・・・②

共通接線なのだから、①＝②なので、α/β＝α → β＝1
1＝－1/2α^2＋5/2
α^2＝3
α＝√3

故に、共通接線の式はy＝－√3x＋4
r^2＝(√3)^2＋1＝4　r＞0よりr＝2

(i)　(√3、1)
(ii)　y＝－√3x＋4
(iii) r＝2

(2)y軸に対して左右対称なグラフ(図形)であることを考慮する。赤い部分の面積を求めてみる。
0≦x≦√3の範囲で、y＝－(1/2)x^2＋5/2とy軸とx軸で囲まれる面積(赤＋緑＋黄)を求める。
緑色は半径2の円の1/6（∵中心角が60度！それは黄色い三角形からわかる）の扇形である。
黄色は底辺が√3、高さが1の三角形である。
だから、赤い面積＝∫(0→√3){－(1/2)x^2＋5/2}dx － (√3)×1×(1/2)－π･2^2･(1/6)
＝〔－1/6･x^3＋5/2x〕(0→√3)－√3/2－2π/3
＝－1/2･√3＋5/2･√3－√3/2－2π/3
＝(3/2)√3－(2/3)π
実際には、赤い部分とピンク部分を合わせた面積なので、2倍する。

答え：3√3－(4/3)π

No.1 回答者： tantanmm 回答日時： 2018/09/10 19:34

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放物線C1:y＝－1/2x²＋2/5 の最後の[2/5]は[5/2]では？