高校数学：積分を利用した面積について

xy平面上の曲線y=|x(x-2)|と直線y=kx(0<k<2)で囲まれた図形の面積をSとする。
(1)Sをkの式で表せ
(2)Sを最小にするkの値を求めよ

これらの問題の解き方とできれば途中式なども教えて下さい！
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/10 13:58

（1）まず、グラフをかいてください。

y=|x(x-2)|
0≦x≦2 のとき、y=-x(x-2)……①
x<0 , 2<x のとき、y=x(x-2)……②

y=kx……③

①と③の交点を求めます。
-x(x-2)=kx
x²-(2-k)x=0
x{x-(2-k)}=0
x=0 , 2-k

②と③の交点を求めます。
x(x-2)=kx
x²-(2+k)x=0
x{x-(2+k)}=0
x=0 , 2+k

これより、
S=∫(x:0→2-k) {-x(x-2)-kx}dx+∫(x:2-k→2) {kx+x(x-2)}dx+∫(x:2→2+k) {kx-x(x-2)}dx
∫(x:0→2-k) {-x(x-2)-kx}dx=∫(x:0→2-k) {-x²+(2-k)x}}dx
=[-x³/3+(2-k)x²/2](x:0→2-k)
=-(2-k)³/3+(2-k)³/2
=(2-k)³/6

∫(x:2-k→2) {kx+x(x-2)}dx=∫(x:2-k→2) {x²-(2-k)x}dx
=[x³/3-(2-k)x²/2](x:2-k→2)
=8/3-2(2-k)-(2-k)³/3+(2-k)³/2
=8/3-4+2k+(2-k)³/6
=-4/3+2k+(2-k)³/6

∫(x:2→2+k) {kx-x(x-2)}dx∫(x:2→2+k) {-x²+(2+k)x}dx
=-x³/3+(2+k)x²/2](x:2→2+k)
=-(2+k)³/3+(2+k)³/2+8/3-2(2+k)
=(2+k)³/6+8/3-4-2k
=(2+k)³/6-4/3-2k

よって、
S=(2-k)³/6+{-4/3+2k+(2-k)³/6}+{(2+k)³/6-4/3-2k}
=2(2-k)³/6+(2+k)³/6-8/3
=2(8-12k+6k²-k³)/6+(8+12k+6k²+k³)/6-16/6
=(16-24k+12k²-2k³+8+12k+6k²+k³-16)/6
=(-k³+18k²-12k+8)/6

（2）S=(-k³+18k²-12k+8)/6
s'=(-3k²+36k-12)/6
=(-k²+12k-4)/2

(-k²+12k-4)/2=0 より、
k²-12k+4=0
k=6±4√2
増減表を作成して調べると、
k=6-4√2　のとき、Sは最小となります。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。助かりました...!

お礼日時：2020/03/11 08:17

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/10 13:01

No.2 です。

ああ失礼、2<x の範囲でも交点を持つので、#2 の面積では間違いですね。

2<x では、①は
　y = x^2 - 2x
ですから、これと③との交点は
　x^2 - 2x = kx
より
　x^2 - (k + 2)x = 0
→ x[x - (k + 2)] = 0
よって
　x = 0, x = k + 2
ということになります。

(1) 従って、求める面積は
　0 ≦ x ≦ 2 - k　で y = -x^2 + 2x （上）と y = kx （下）との間の面積
　2 - k ≦ x ≦ 2　で y = kx （上）と y = -x^2 + 2x （下）との間の面積
　2 ≦ x ≦ k + 2　で y = kx （上）と y = x^2 - 2x （下）との間の面積
の合計ということになります。

詳しい計算は後ほど。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/10 12:38

まず、曲線と直線を正しくグラフに書いて、「積分範囲」をきちんと定める必要がります。

y = |x(x - 2)|　　　　①

とは
　y = x(x - 2) = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1　　　②
つまり
・下の凸の放物線
・頂点が (1, -1)
・原点 (0, 0) を通る
の放物線を、
・y≦0 の部分を x 軸に対称に折り返したもの
であることが分かっていますか？

y≦0 になるのは
　x(x - 2) ≦ 0
ですから
　0 ≦ x ≦ 2
の範囲です。

そのグラフが書けることがまず前提ですね。

y = kx （0<k<2）　　　　③
は、原点を通り、傾き k の直線ですから、上のグラフと一緒に書けますね。

積分ができるということは「微分」もできるのでしょうから、②の x=0 における接線の傾きが
　y' = 2x - 2
より
　y'(0) = -2
なので、①の曲線の x=+0 における接線の傾きが「２」であることが分かります。

つまり③で「0<k<2」ということは、①と③は 0 ≦ x ≦ 2 の範囲で２点の交点を持つということです。
0 ≦ x ≦ 2 の範囲では、①は
　y = -x(x - 2) = -x^2 + 2x
と書けます。

そのときの①と③の交点の座標を求めると
　kx = -x^2 + 2x
より
　x^2 + (k - 2)x = 0
→　x[x + (k - 2)] = 0
より
　x=0, x=2 - k
ということになります。
0<k<2 なので 0<2 - k<2 です。

(1) 従って、①と③で囲まれた部分の面積は
　S = ∫[0 ～ 2-k]( -x^2 + 2x - kx)dx = [ -(1/3)x^3 + [(2 - k)/2]x^2 ][0 ～ 2-k]
　　= -(1/3)(2 - k)^3 + (1/2)(2 - k)^3
　　= (1/6)(2 - k)^3　　　　　④

(2) ④は 0<k<2 の範囲では単調減少で、k→2 のとき S→0 です。
　つまりこの範囲では「最小」になる k の値はなく、k→2 のとき限りなく小さくなって 0 に近づくということですね。

問題文は、正しく書き写されていますか？

この回答へのお礼

(2)の問題に書き写しの間違いはありませんでした...
ご丁寧にありがとうございました、とても助かりました！

お礼日時：2020/03/11 08:18

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/10 12:37

まずは作図すると良いでしょう

普通に　y=x(x-2)の放物線グラフをxy平面上に書きます
すると頂点(1,-1)でx軸との交点が(0,0)と(2,0)の下に凸の放物線グラフが書けると思います
絶対値付きグラフy=|x(x-2)|では　x軸より下になってしまった部分をｘ軸で折り返せばよいです
すると
＼∩／
のようなグラフになるはずです
これと、y=kxで囲まれる部分を考えればよいのです
すると、折り返した部分の放物線グラフの式は　 y=|x(x-2)|=-x(x-2) 0<x<2ですから　（・・・0<x<2では　x(x-2)<0なので|x(x-2)|=-x(x-2)
y=kxとの交点は
-x(x-2)=kx
⇔x²+(k-2)x=x{(x+(k-2)}=0
x=0,-k+2
0<k<2なので　0<-k+2<2 　
このことは　題意のｋの範囲では　折り返した部分と直線が確実に交点を持つということを示しています
また　x>2の部分とも直線が交わりますからそれを調べると
x(x-2)=kx
⇔x²-(k+2)x=x{(x-(k+2)}=0
x=0,k+2　すなわち該当の交点のx座標は　x=k+2
ゆえに
S=∫[0→-k+2]{-x(x-2)-kx)dx+∫[-k+2→k+2]{kx-x(x-2)} です
あとは定積分を計算するだけ

（２）は（１）で求めたｋの式を微分して増減表を作るなどすれば最小が求まると思います

この回答へのお礼

とてもわかりやすく、ご丁寧にありがとうございました。
とても助かりました！

お礼日時：2020/03/11 08:19