
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
xをパラメータとすると,曲線上の点は(x,a/x+b):1/1000は簡単のためa,bの中に入れました.
すると原点と曲線状の点との距離Dは次のように表せます.
D=√(x^2+(a/x+b)^2)
実際には最小値を求めるので,ルートのなか最小になればいい.
D^2=x^2+(a/x+b)^2=x^2+b^2+2ab/x+a^2/x^2
=1/x^2(x^4+b^2*x^2+2abx+a^2)
これをxで微分して0と置いてxについて解けば最小値を求めることができます.
最大高次の部分が偶数で,係数が正なので,上の解の中に最小値があります.
(4次方程式になるので,解は4つとなり,その中のどれかが答えと言うこと)
具体的に解こうとすると,4次方程式がでるのでやっかいです.
No.3
- 回答日時:
c=1000
とします。曲線は
y = (1/c) ((a/x) + b)
という方程式で表されるってことでよろしいんでしょうかね。整理して
c x y = a + b x
です。この曲線上の点(x,y)と原点(0,0)との距離を|r|とすると
r^2 = x^2 + y^2
です。(なお、「固定点」が原点でない場合に計算を行うには、まず固定点が原点に来るように座標変換(平行移動)をしておきます。)
さて、
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
を代入して極座標に変換すると、
c (r^2) sin(θ)cos(θ) = a + b r cos(θ)
つまり
(1/2) c (r^2) sin(2θ) = a + b r cos(θ)
です。この式をθで微分すると、
c r sin(2θ) (dr/dθ)+ c (r^2) cos(2θ) = b cos(θ) (dr/dθ) - b r sin(θ)
さて、|r|が最小になる所を探したいので、まずはθによる微分が0になるようなr,θの満たすべき条件を調べます。すなわち
dr/dθ= 0
を代入して
c (r^2) cos(2θ) = - b r sin(θ)
となるr, θが、dr/dθ= 0を満たす事が分かります。これを直交座標に戻せば
c (x^2) = - by
という放物線の方程式が得られます。これと元の方程式の曲線
c x y = a + b x
との交点のどれかが、求める点であるということです。これらからyを消去すると
((c^2)/b)(x^3) + b x + a = 0
という三次方程式が得られ、その実解のうちのひとつが求める点のx座標です。(解を具体的に書くには、カルダノの公式を使わなくちゃならんので、ナカナカ大変であり、パス。)
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