アポロニウスの円

座標平面のx軸上に3点A(-3,0)、B(0,0)、C(c,0)がある この平面上にPA:PB:PC=4:2:1となるような点Pが存在するのはcがどのような範囲にあるときか

AとBを2:1に内分、外分する部分とBとCを2:1に内分、外分する部分が重なるところで点Pが存在するから二点がm:nに保たれるようなアポロニウスの円を書いたのですがここからどうすればいいでしょうか？教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/27 12:46

PA:PB=2:1を満たす円

(x+3)^2+y^2=4(x^2+y^2)　⇒　(x-1)^2+y^2=4 ...(1)
に
PB:PC=2:1を満たす円
x^2+y^2=4((x-c)^2+y^2) ⇒ (x-(4/3)c)^2+y^2=(20/27)c^2 ...(2)
が交わるか接する為の条件を求めれ良いでしょう。
即ち、円(1)の中心D(1,0)、円(2)の中心E(4c/3,0)に対して
中心点間の距離DEが「(1)と(2)の差以上、和以下」となる条件、つまり
|2-(|c|)√(20/27)≦|1-(4c/3)|≦2+(|c|)√(20/27)
からcの範囲を求めれば良いでしょう。

これを解くには cの正、負に場合分けして解くと良いでしょう。
解くと
-3/2≦c≦-1/2,3/2≦c≦9/2
が得られるかと思います。

この回答への補足

PB:PC=2:1を満たす円
x^2+y^2=4((x-c)^2+y^2)

これはどこから出たのでしょうか？

補足日時：2012/05/27 13:01

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/27 16:34

#2,#3です。

A#1の補足の質問について

>共有点を持つか否かはどう判断すればいいのでしょうか？

A#2の中にも書いてありますが、アポロニウスの円（円の中心座標はA#2でD,Eとしています）の中心間の距離DEと半径PDと半径PEの間に

|PD-PE|≦DE≦PD+PE　（等号を除けば三角形の辺の間の関係）

があれば、アポロニウスの円Dと円Eは共有点を持つと言えます。

この回答へのお礼

他の方の補足までありがとうございました

お礼日時：2012/05/27 16:54

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/27 16:22

#2です。

A#2の補足質問の回答

>>PB:PC=2:1を満たす円
>>x^2+y^2=4((x-c)^2+y^2)

>これはどこから出たのでしょうか？

＃パットみて距離の２乗の式の関係だと分かりそうなものですが…。

でも分からないと言うことなので丁寧に説明すると

P(x,y),B(0,0),C(c,0)より
PB=√(x^2+y^2), PC=√((x-c)^2+y^2)
PB^2=x^2+y^2, PC^2=(x-c)^2+y^2 ...（★)

PB:PC=2:1より　PB^2:PC^2=4:1
外項の積＝内項の積より
PB^2=4*PC^2

これに(★)を代入して
　
>x^2+y^2=4((x-c)^2+y^2)

式を整理して

> ⇒ (x-(4/3)c)^2+y^2=(20/27)c^2 ...(2)

が得られる。

お分りでしょうか？

この回答へのお礼

分かりました ありがとうございました

お礼日時：2012/05/27 16:51

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/27 12:31

BとCでもアポロニウスの円を書く

このとき，cの値によって，二つのアポロニウスの円が
共有点ももつか持たないかが定まる．

この共有点がPであることに注意．

この回答への補足

共有点を持つか否かはどう判断すればいいのでしょうか？

補足日時：2012/05/27 13:15