X=x+y, Y=xyとする。点Q(X,Y)の存在する範囲を図示しなさい。

次の問題の解説をお願いします。

xy平面上で点P(x,y)が,不等式Ix+yI+lx-yl≦2を満たしながら動くとき,次の(1),(2)に答えなさい。

(1) 点P(x,y)の存在する範囲を図示しなさい。

(2)X=x+y, Y=xyとする。点Q(X,Y)の存在する範囲を図示しなさい。

(1)は理解できましたが、(2)は解説を読んでもよく分かりませんでした。
ご教示お願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/21 23:41

分かりにくいので

　u=x+y, v=xy
とする。すると
　x={u+√(u²-4v)}/2 , y={u-√(u²-4v)}/2
当然
　u²≧4v → v≦u²/4・・・・・・①

与式は
　|u|+√(u²-4v)≦2
uに対して±で対象だから、
　u≧0 ・・・・②
を調べればよい。すると
　u+√(u²-4v)≦2 → √(u²-4v)≦2-u
当然
　u≦2・・・・③
2乗して
　u²-4v≦4-4u+u² → v≧u-1・・・・・④
つまり、①～④より
　0≦u≦2 に対して　u-1≦v≦u²/4
となる。

したがって、範囲はv軸について対象だから図の範囲となる。

この回答へのお礼

図まで付けていただき、ありがとうございました。非常に分かりやすい解説でした。
とても助かりました。

お礼日時：2022/06/22 00:06

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/21 23:43

まったかぁ・・・・こんなもんでやらかすんじゃねーだろーな?

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/21 22:55

小文字をつなぎと見て

大文字を連結すると言うことですよね
その際、小文字が残らないように工夫します

一番の答えは
原点中心、半径√2の円内でしたかね…

円が出てきたら、三角関数の定義を利用してみます
定義に関しては、テキストなどを確認してみてください

仮に、(x、y)の存在範囲が
原点中心、半径rの円周上ならば
三角関数の定義から
cosθ＝x/r
sinθ＝y/r
ですから
x＝rcosθ
y＝rsinθ
です
これをX＝の式と
Y＝の式はに代入して上げると
X＝r(sin+cos)⇔X²＝r²(1+2sincos)
Y＝r²sincos
代入して
X²＝r²+2Yですよね
⇔X²-2Y＝r²
で、この問題では
点(x、y)は円の半径が√2以下の円周上にあると言い換えられるので
r²<=2
ですよね
X²-2Y＝r²
の右辺が(0以上)2以下なんで

X²-2Yも0以上2以下
となります

これで、小文字がうまく消せたと言うわけです

まだ、不明な点あらば
再質問してください