高校数学の分数不等式について質問です

Question

高校数学の分数不等式について質問です。

以下のような分数不等式の問題があります。

(x+1)(x-2)/x <0 

テキストに、分母の２乗であるx２乗を両辺にかけると高次不等式として解ける。と書いてあります。

x２乗ではなく、ただのxをかけてはだめな理由を教えてください。

ORUKA1951 · Accepted Answer

そのまえに、中学一年で学んだ式の変形が身についていない。
中学校になって、引き算と割り算が、それぞれ足し算と掛け算に置き換わりましたね。
たとえば、x - 2 ≠ 2 - x ですが、x + (-2) = (-2) + x
　x ÷ 2 ≠ 2 ÷ x だけど、x × (1/2) ＝ (1/2) × x
これで、交換、分配、結合で自在に変形できるようになった。
￣￣￣￣￣たとえ、正負のわからない未知数でも￣￣￣￣￣￣

さらに＝の関係のある両辺に同じものを加減乗除しても=の関係は変わらない。
　　￣￣￣￣￣たとえ、正負のわからない未知数でも￣￣￣￣￣￣
2x + y = 5
x　+ y = 3
だと、上式から下式を引くと
　2x + y = 5
-)＿x_+_y = 3＿＿＿
　x　　　= 2

中学一年の数学を徹底的に復習
　　ここが自分のものになっていないからもここまで来て躓く。
移項処理は、両辺に同じ処理をしても＝の関係は変わらないという原理があるから

ところが、不等式の場合は、-1 をかけると＜＞が逆転します。
4 > 3
の両辺に、-1をかけると
-4 ＜ -3

★分母の２乗であるx２乗を両辺にかけると高次不等式として解ける。
　xの正負がわからないときは、xが正の時と負の時に分けて考えなければならない。

ところが、x²はxの正負に限らず常に正なので

場合分けすれば、いずれでも解けますが、面倒くさくなる。

syotao · Answer

実際、ｘ²とｘをかける両方の方法でやってみましょう。
ｘ²を両辺に書けるとｘ²＞0なので不等号の向きは変わらない。
それて分数不等式は　(x+1)(x-2)x <0 となります。これを解くには
ｘ＜―1、―１≦ｘ＜0、0＜ｘ＜2、2≦ｘにわけてどれが(x+1)(x-2)x <0をみたすか
調べればよいわけです。
ｘ＜―1のとき、x+1＜0、x-2＜0、ｘ＜0なので(x+1)(x-2)x＜0、
―１≦ｘ＜0のときx+1≧0、x-2＜0、ｘ＜0なので(x+1)(x-2)x ≧0 
0＜ｘ＜2のとき、x+1＞0、x-2＜0、ｘ＞0なので(x+1)(x-2)x＜0
2≦ｘのときx+1＞0、x-2≧0ｘ＞0なので(x+1)(x-2)x≧0
ということで答えは、ｘ＜―1と0＜ｘ＜2です。

こんだはｘをかける方法です。この場合ｘ＞0とｘ＜0の場合にわける必要があります。
ｘ＞0のとき分数不等式は(x+1)(x-2)＜0となり、この解は　―1＜ｘ＜2ですがｘ＞0
だから、共通部分をとって0＜ｘ＜2となります。
ｘ＜0の場合、分数不等式は(x+1)(x-2)＞0となりこの解はｘ＜―1、か　2＜ｘですが
ｘ＜0との共通部分ｘ＜―1だけが答えです。

結局、どっちの方法でも同じ答えが出るのだけど、後の方は場合によって不等号の向きを
変えたり、共通部分をとったりしなくちゃならないのでまちがえやすいということでしょうね。

yhr2 · Answer

不等式に「負」の数をかけると、不等号の向きが逆になります。
「正」数であれば、不等号の向きは変わりません。
このため、何かをかけたり割ったりするときには、正か負かで場合分けをする必要があります。

ただし、x が実数なら x^2 は必ず「正」ですから、そのまま乗じても不等号の向きは変わらないので、場合分けの必要がありません。

kairou · Answer

不等式ですから、ただのＸを掛ける場合はＸの正負を分ける必要があります。

高校数学の分数不等式について質問です

そのまえに、中学一年で学んだ式の変形が身についていない。

実際、ｘ²とｘをかける両方の方法でやってみましょう。

不等式に「負」の数をかけると、不等号の向きが逆になります。

不等式ですから、ただのＸを掛ける場合はＸの正負を分ける必要があります。

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