0≦x≦1において 赤く囲んだ不等式を証明する問題ですが、この解き方は合ってますか？

0≦x≦1において
赤く囲んだ不等式を証明する問題ですが、この解き方は合ってますか？

質問者からの補足コメント

• もっと簡単なやり方は参考書に書いていたので把握済みです
  これでも一応正解か教えて欲しいです

    補足日時：2024/09/04 21:11

No.6 回答者： AっKI 回答日時： 2024/09/05 11:21

あえて指摘するなら

1-x^2≧0の説明がもう一言ほしい

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/05 11:10

合ってます

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/05 09:48

合ってるけど少しだけ迂遠。

A>0, B>0, A≧Bなら
1/A ≦ 1/B を使う
証明 1/B - 1/A = (A-B)/AB ≧ 0

1+x^2 ≧ 1
1+x^4 ≧ 1
(1 + x^2) - (1+x^4) = x^2・(1-x^2)≧0
よって
1/(1 + x^2)≦ 1
1/(1 + x^4)≦ 1
1/(1 + x^2) ≦ 1/(1 + x^4)

No.3 回答者： kenashitouge 回答日時： 2024/09/04 22:44

回りくどい印象は受けますけど、根拠は間違っていませんから、正しいです。

あとは、如何に無駄を削ぐか、他の回答者様の仰るように、『如何に楽するか』というのを突き詰めていく感じですかね。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/09/04 21:08

もっと単純に 出来るのでは。

0≦x≦1 ならば x⁴≦x²≦1 ですよね。
つまり 1≦1+x⁴≦1+x² 逆数にすれば 1/(1+x²)≦1/(1+x⁴)≦1 。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/04 20:54

そんな面倒なことしなくとも

0 ≦ x ≦ 1 なので
　1 ≦ 1 + x^4 ≦ 1 + x^2 ≦ 2
よって
　1/1 ≧ 1/(1 + x^4) ≧ 1/(1 + x^2) ≧ 1/2

でよいのでは？