数学1の質問です。 三角形ABCにおいて、 sin A : sin B : sin C =13 :

数学1の質問です。

三角形ABCにおいて、
sin A : sin B : sin C =13 : 8 : 7
が成り立つとき、Aの値を求めよ、また、この三角形の外接円の半径が13、3であるとき、三角形ABCの面積を求めよ.

解答
正弦定理より、
a : b : C=sinA : sinB : sin C
なので、問題文の条件より
a : b: c=13 : 8 : 7
「よって、a, b,cは定数k(＞0)を用いて
a=13k, b=8k,C=7k
と書ける。」
この部分、なぜいちいち定数kを用いる必要があるのか理解できません。
その後の回答は理解できるのですが、ここの根拠が理解できないためどなたか数学に強い方、教えてください。
よろしくお願い致します。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/26 15:50

a:b:c=13:8:7

の
△ABC
と
a'=13
b'=8
c'=7
の
三角形
△A'B'C'
は相似だから
∠A=∠A'
∠B=∠B'
∠C=∠C'
だから

(a')^2=(b')^2+(c')^2-2(b')(c')cosA

cosA
={(b')^2+(c')^2-(a')^2}/{2(b')(c')}
=(8^2+7^2-13^2)/(2*8*7)
=(64+49-169)/(2*8*7)
=-1/2

A=2π/3=120°

sinA=√3/2

三角形の外接円の半径R=13のとき

a
=2RsinA
=2*13√3/2
=13√3
=13k (←ここで使うため定数kを用いる必要がある)

だから

k=√3 (←ここで使うため定数kを用いる必要がある)

b=8k=8√3 (←ここで使うため定数kを用いる必要がある)
c=7k=7√3 (←ここで使うため定数kを用いる必要がある)

△ABCの面積
|△ABC|=(1/2)bcsinA
=(1/2)(8√3)(7√3)(√3/2)
=84√3

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/26 12:19

#4訂正です

a:b:c=13:8:7
の
△ABC
と
a=13
b=8
c=7
の
三角形
△A'B'C'
は相似だから
∠A=∠A'
∠B=∠B'
∠C=∠C'
だから

a^2=b^2+c^2-2bccosA

cosA
=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(8^2+7^2-13^2)/(2*8*7)
=(64+49-169)/(2*8*7)
=-1/2

A=2π/3=120°

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/26 10:08

根拠？

a:b:c = 13:8:7
と
a=13k, b = 8k, c = 7k (k > 0)
が等価であることは分かりますよね？

a:b:c = 13:8:7 なら
a/13 = b/8 = c/7
だからこれを k とすると

a/13 = b/8 = c/7 = k
a = 13k, b = 8k, c = 7k

この方が、この問題の場合
式の中で扱いやすいです。

例えば cosA を計算するには、余弦定理から
cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)
= {(8k)^2 + (7k)^2 - (13k)^2}/(2・8k・7k)
=(64 + 49 - 169)(2・8・7)=-1/2

a, b, c の関係が比のままだと

cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)
の分子分母を a^2 で割って
cosA = ((b/a)^2 + (c/a)^2 - a^2)/(2(b/a)(c/a))
= ((8/12)^2 + (7/13)^2 - 1)/(2(8/13)(7/13))

で、できるけど、ちょっと面倒です。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/25 21:12

三角形の外接円の半径をR とすると

正弦定理より

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R=k

だから

k=2R

は三角形の外接円の直径です

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/25 20:15

No.2 です。

この問題では、前半の「Aの値を求めよ」だけだったら、k=1 と仮定しても解けます。
だたし、後半の「この三角形の外接円の半径が13、3であるとき」（これは「この三角形の外接円の半径が13であるとき」と「この三角形の外接円の半径が3であるとき」の２ケースということですよね？）には、それぞれ異なった k の値になりますので、それに備えて「未知数の k」を使っているのでしょう。

あなた自身で最後まで解いてみたのですか？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/25 20:03

＞この部分、なぜいちいち定数kを用いる必要があるのか理解できません。

だって、a, b, c の絶対値が分からず、相互の「比」だけしか分かっていないのだから、そう置くしかないでしょう。
k=1 なのか k=2 なのか k=100 なのかによって、a, b, c の「絶対値」がいくつになるのかやっと決まるのです。

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2024/12/25 20:02

その後の話の持っていき方が分からないので、その解答の作成者がどういう意図で a=13k、b=8k、c=7k と書こうとしたのか分かりません。

でもまあ、a、b、cと文字が3つあるより、kの一文字だけで済むなら話が簡単になるでしょう。