分数不等式の問題です (x^2+2x-3)/x+1 >=0 不等式を解け この問題ですが分母の二乗(

分数不等式の問題です

(x^2+2x-3)/x+1 >=0
不等式を解け

この問題ですが分母の二乗(正の数)を両辺にかけて解く方針で進めていて

f(x)g(x) >= かつ g(x) ≠ 0

(x-1)(x+3)(x+1)>=0
となり、x^2+2x-3>=の部分が x<=-3,1<=x ①
分母の部分がx>=-1 ②

①②合わせて範囲を求めればいいかなと思ったのですが解答をみると -3<=x<-1,1<=xとなっており、根本的に何か考え方が間違っている気がしています。
どのように解けばいいか教えて下さい

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/01/07 11:25

(x^2+2x-3)≧0だけに限定しているところが間違いです

(A)
(x^2+2x-3)≦0になるケースもあることを考慮すると
このとき、分子≠0であることにも留意して
x+1 ＜0↔x＜−1
二次不等式からは、−3≦x≦1
が得られるので、(A)のときの範囲は
−3≦x＜−1

(B)
同じく分母≠0に注意して
(x^2+2x-3)≧0かつx+1＞0のとき
二次不等式からはx≦−3または1≦x
分母からは　x＞−1
合わせて1≦x

(A)(B)の共通範囲をとって
-3<=x<-1,1<=xとなるわけです

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/07 19:02

(x^2+2x-3)/(x+1)≧0

(x-1)(x+3)/(x+1)≧0

分母(x+1)≠0だから
x+1<0.または.0<x+1
x<-1.または.-1<x

(分母負)x<-1 の場合
0<-x-1 だから

0<-x-1
と
0≦(x-1)(x+3)/(x+1)
を
かけると

0≦(-x-1)(x-1)(x+3)/(x+1)=-(x-1)(x+3)

0≦-(x-1)(x+3)

↓両辺に(x-1)(x+3)を加えると

(x-1)(x+3)≦0

-3≦x≦1

↓x<-1 だから

-3≦x<-1…(分母負)

(分母正)-1<x の場合
0<x+1 だから

0<x+1
と
0≦(x-1)(x+3)/(x+1)
を
かけると

0≦(x-1)(x+3)

x≦-3.または.1≦x

↓-1<x だから

1≦x…(分母正)

(分母負)または(分母正)だから

-3≦x<-1 または　1≦x

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/07 19:01

(x^2+2x-3)/(x+1) ≧ 0 の両辺に (x+1)^2 を掛けるなら、

(x^2+2x-3)/(x+1) ≧ 0　⇔　{ (x+1)^2 ≠ 0 かつ (x^2+2x-3)(x+1) ≧ 0 }.
不等式の右辺が 0 なので、この変形で式がほとんど変わってない。

(x^2+2x-3)/(x+1) ≧ 0　⇔　{ { (x^2+2x-3) ≧ 0 かつ (x+1) > 0 }
　　　　　　　　　　　　　または { (x^2+2x-3) ≦ 0 かつ (x+1) < 0 } }.
としても、
(x^2+2x-3)(x+1) ≧ 0　⇔　{ { (x^2+2x-3) ≧ 0 かつ (x+1) ≧ 0 }
　　　　　　　　　　　　　または { (x^2+2x-3) ≦ 0 かつ (x+1) ≦ 0 } }
に x ≠ -1 を添えても、やってることにほぼ同じだ。

君の方針とは違うが、
素直に No.1 でいいのではないだろうか？

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/07 17:53

(x^2+2x-3)/(x+1) >=0

が正しい不等式だと思うけど、それは置いといて

>分母の二乗(正の数)を両辺にかけて解く方針
は正しいけど、これから
>分母の部分がx>=-1 ②
は出てこない。x≠-1 が正しい。

x=-2 でも (x+1)^2 = (-1)^2 > 0 だから正の数だよね？

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/01/07 11:51

訂正

☓…ABの共通範囲をとって
↓
〇…ABの範囲を合わせて

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/07 11:14

(x^2+2x-3)/(x+1)≧0

(x-1)(x+3)/(x+1)≧0

(x-1)(x+3)(x+1)≧0

(1)(x^2+2x-3)≧0 かつ　x+1>0 　(分子分母両方正の場合)
または
(2)(x^2+2x-3)≦0 かつ　x+1<0 　(分子分母両方負の場合)
だから

(1)分子分母両方正の場合
(x^2+2x-3)≧0 かつ　x+1>0
の場合
(x≦-3.または.1≦x)かつ(-1<x)
だから
1≦x

(2)分子分母両方負の場合
(x^2+2x-3)≦0 かつ　x+1<0
の場合
(-3≦x≦1)かつ(x<-1)
だから
-3≦x<-1

(2)または(1)だから

-3≦x<-1 または　1≦x

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2025/01/07 09:49

(x^2+2x-3)/(x+1) >=0と仮定して考えると、

(x+3)(x-1)/(x+1)≧0　となりますので、、、
それぞれのカッコが正負の分かれ目になるところで区分けをして考えてください。
ｘ＜-3
-3≼ｘ＜-1
-1＜ｘ≦1
ｘ>1
分子の不等号の切れ目は正しい側に＝を含めましょう。
分母は0になれないので-1があるところは＝は含めてはいけません。