ピタゴラスの定理（2）

sinθ^2+cosθ^2=1^2を使い
例えばcosθ=1/2のときはsinθ=√3/4
cosθ=aのときはsinθ=bで
a^2+b^2=1^2で
半径xの円でc=xのときでも成り立つので
a^2+b^2=c^2となる証明終
と思うのですがどうですか

質問者からの補足コメント

• (sinθ)^2+(cosθ)^2=1は
  円の方程式x^2+y^2=1を使えばピタゴラスの定理を使わなくとも証明できるから循環論法にならないと思うのですがどうですか

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/01/29 16:37

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  sinθ^2+cosθ^2=1 は円の方程式 x^2+y^2=1 を使って証明できます。
  
  証明
  
  単位円:
  
  中心が原点 (0,0) で半径が 1 の円を考えます。この円を単位円といいます。
  単位円周上の任意の点 P の座標を (x,y) とします。
  三角関数の定義:
  
  動径 OP と x 軸の正の方向とのなす角を θ とすると、三角関数の定義より
  sin θ = y
  cos θ = x
  円の方程式:

    補足日時：2025/01/29 19:35

• 点 P (x,y) は単位円周上にあるので、円の方程式 x^2+y^2=1 を満たします。
  代入:
  
  x^2+y^2=1 に sin θ = y、cos θ = x を代入すると
  (cos θ)^2+(sin θ)^2=1
  sin^2 θ+cos^2 θ=1
  したがって、sin^2 θ+cos^2 θ=1 が成り立ちます。
  
  ポイント
  
  この証明では、ピタゴラスの定理（三平方の定理）は直接使っていません。
  円の定義と三角関数の定義から sin^2 θ+cos^2 θ=1 を導いています。
  sin^2 θ は (sin θ)^2 を、cos^2 θ は (cos θ)^2 を意味します

    補足日時：2025/01/29 19:49

• 3：sin2θ+cos2θ=1の証明その２（単位円）
  では、２つ目の証明をしていきます。
  
  今回は単位円を使って証明を行います。
  
  下のイラストのように、単位円において、（x、y）という座標と三角形を考えてみます。
  
  単位円
  
  この時、sinθ=y、cosθ=xとなりますね。
  
  ※この理由がわからない人は、単位円について詳しく解説した記事をご覧ください。
  
  すると、
  
  sin2θ+ cos2θ
  
  = y2 + x2
  
  = x2 + y2
  
  ここで、（x、y）に単位円上にあるので、円の方程式より
  
  x2 + y2 = 1
  
  となるので、公式「sin2θ+cos2θ=1」が証明できました。
  
  以上が単位円を使っての証明となります。

    補足日時：2025/01/29 19:53

• これらの証明を確認してください
  間違っているところはありますか

    補足日時：2025/01/29 19:54

No.16 回答者： finalbento 回答日時： 2025/01/30 17:52

現時点で最新の補足の中にあった

sinθ=y cosθ=x

自体がピタゴラスの定理から来ています。これに限らずより一般的な

x=rcosθ y=rsinθ

と言う直交座標と極座標の関係式(≒極座標の定義)もピタゴラスの定理を前提としたものです。

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/30 16:12

x^2+y^2=1

が円の方程式である事を証明せずに
x^2+y^2=1
が円の方程式であると決めつけている事が間違っているのです

x^2+y^2=1
は円の方程式ではありません
x^2+y^2=1
は
ピタゴラスの定理を表す式なのです
右辺の1は直角3角形の斜辺の長さです
左辺のx,yは直角3角形の斜辺以外の辺の長さです

あくまでも
x^2+y^2=1
が円の方程式であると主張するならば
x^2+y^2=1
が円の方程式である事を証明して下さい

No.14 回答者： パラット 回答日時： 2025/01/30 15:44

おばあちゃんには分からん（笑）

凄いですね!勉強ですか？
頑張って下さい。

No.13 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2025/01/30 07:41

ピタゴラスの定理を使わないとなると、マクローリン展開ぐらいしか思いつかんな。

　　cos^2θ = 1 - θ^2 + θ^4/3 - θ^6/45) + θ^8/315 - ･･･
　　sin^2θ = 　　θ^2 - θ^4/3 + θ^6/45) - θ^8/315 + ･･･

　　sin^2θ + cos^2θ = 1

No.12 回答者： finalbento 回答日時： 2025/01/30 06:58

「ピタゴラスの定理は直接使っていません。

円の定義と三角関数の定義から」云々とありますが、三角関数(の元々の定義である三角比)自体がピタゴラスの定理と密接に関係しているわけですから、三角関数を使っている時点で気付くべき所だったと思います。

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/29 23:33

>この証明では、ピタゴラスの定理（三平方の定理）は直接使っていません。

ピ夕ゴラスの定理が前提になってて字面上表に出てこないだけ。

しかしこんな明明白白な循環論法に何故きがつかない？

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/29 22:27

＞ これらの証明を確認してください

＞ 間違っているところはありますか

単位円の方程式が x^2 + y^2 = 1 であることは、
三平方の定理を使って導く。だから、
補足の一連の「証明」を使って三平方の定理を証明するのは
循環論法でしかない。Ｎo.2 No.3 No.5 No.8 の言うとおり。

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/29 20:50

（x,y）に単位円上にあるということは

原点(0,0)と点(x,y)を結ぶ線分の長さが1であるということなのです

一方
x^2+y^2=1
が
中心(0,0)半径1の円の方程式であることは
ピタゴラスの定理を使わないと証明できないのです
だから
ピタゴラスの定理を使わないで
x^2+y^2=1 が円の方程式であるなどといってはいけません

x^2+y^2=1
というのは円の方程式ではありません
ピタゴラスの定理を表す式なのです
右辺の1は直角3角形の斜辺の長さです
左辺のx,yは直角3角形の斜辺以外の長さです

No.8 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/01/29 20:06

>>円の方程式x^2+y^2=1を使えばピタゴラスの定理を使わなくとも証明できるから循環論法にならないと思うのですがどうですか

円の方程式はピタゴラスの定理から導き出されてるんですよ。
これも循環論法。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/29 18:14

x^2+y^2=1

が半径1の円の方程式であることはピタゴラスの定理を使わないと証明できないのです

原点(0,0)と点(x,y)の距離を1としたとき
x^2+y^2=1
が成り立つことはピタゴラスの定理を使わないと証明できないのです

点(x,y)と点(a,b)の距離をdとしたとき
(x-a)^2+(y-b)^2=d^2
が成り立つことはピタゴラスの定理を使わないと証明できないのです