高１数学二次関数の問題です！

a、kを実数とする、2つの関数

f(x)=x²+(2-2a)x-6a+3,

g(x)=2x²-2ax-1/2a²+2a+k

に対して、f(x)の最小値をM, g(x)の最小値をmとする。

(1) a=0のときのMの値を求めよ。

(2) mをa,kを用いて表せ。

(3) Mとmの小さくない方をaの関数とみなし、h(a)とする。すなわち、

M≥mのときh(a) = M.

M≤mのときh(a) = m.

1 4 (i) k=-1のとき, h(a)=-1/4となるようなaの値を求めよ。

(ii) h(a)が次の(条件)を満たすようなkのとり得る値の範囲を求めよ。

(条件) 異なる3個以上のaの値に対してh(a)が同じ値をとることがある。

質問者からの補足コメント

• 模試対策の宿題なので14(i)の問いの所まででも構いませんので、分かる方、回答よろしくお願いします<(_ _)>

    補足日時：2025/03/20 16:54

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/25 14:48

g(x) = 2x^2 - 2ax - (1/2)a^2 + 2a + k

と解釈すれば

f(x) = [x + (1 - a)]^2 - (1 - a)^2 - 6a + 3
　　= [x + (1 - a)]^2 - a^2 - 4a + 2
g(x) = 2[x - (1/2)a]^2 - a^2 + 2a + k

なので
・f(x)：x = a - 1 で最小値 M = -a^2 - 4a + 2　　　①
・g(x)：x = (1/2)a で最小値 m = -a^2 + 2a + k　　　②

(1) ①で a=0 なので M = 2

(2) 上記の②

(3) h(a) は
(a) M≧m つまり
　-a^2 - 4a + 2 ≧-a^2 + 2a + k　→　a ≦ (2 - k)/6 のとき
　h(a) = M = -a^2 - 4a + 2 = -(a + 2)^2 + 6　　　③
(b) M≦m つまり a ≧ (2 - k)/6 のとき
　h(a) = m = -a^2 + 2a + k = -(a - 1)^2 + k + 1　　　④

(i) k=-1のとき
(a) a ≦ 1/2 のとき、③より
　h(a) = -a^2 - 4a + 2 = -1/4
となるのは
　4a^2 + 16a - 9 = 0
→　(2a - 1)(2a + 9) = 0
→　a = -9/2, 1/2
これはいずれも a ≦ 1/2 の条件を満たす。

(b) a ≧ 1/2 のとき、④より
　h(a) = -a^2 + 2a - 1 = -1/4
となるのは
　4a^2 - 8a + 3 = 0
→　(2a - 1)(2a - 3) = 0
→　a = 1/2, 3/2
これはいずれも a ≧ 1/2 の条件を満たす。

よって、
　a = -9/2, 1/2, 3/2

(ii) h(a) は
(a) a ≦ (2 - k)/6 のとき
　h(a) = -(a + 2)^2 + 6　　　③
(b) a ≧ (2 - k)/6 のとき
　h(a) = -(a - 1)^2 + k + 1　　　④
なので、これらは
・各々下に凸の放物線
・③の頂点は (-2, 6), 軸は a = -2
・④の頂点は (1, k + 1), 軸は a = 1
・交点は a = (2 - k)/6
従って、異なる3個以上のaの値に対してh(a)が同じ値をとるためには、交点が２つの頂点（軸）の間にあればよい。
交点がどちらかの頂点と一致するときには、h(a) の値は「２つ」になってしまうので、頂点は含まない。

よって、その条件は
　-2 < (2 - k)/6 < 1
→　-12 < 2 - k < 6
→　-4 < k < 14

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/21 19:37

さて、No.5 までで

k < (1/16)(163 + 3w - 21645/w),　w = ³√(10592√6289 - 574439) のときに
F(a) = 4a⁴ + 20a³ + (2ｋ+7)a^2 + (8k-8)a - (4k+2) は 2個の極小値を持ち、
その極小値の一方が <0 もう一方が ≦0 であることが求めるべき 14(ii) の条件
であることを示した。
根性を出して極小値を求め、最終的な k の範囲を求めることにしよう。

k が上記の範囲にあれば、F”(a) = 0 は実数解 a を 3個持つ。
F(a) の極小点は、その解のうち小さい方から 1番目と 3番目のものである。
3次方程式だから、解公式に持ち込んで厳密解を得ることは可能だが...
カルダノ公式だと、3実解は虚数の計算を含む式で出てくる。
どれが 1番目の解でどれが 3番目の解かを判定することすら難しい。
係数に k が入っていると、近似計算というわけにもいかないし...

ほぼ手詰まり。もうちょっとなんだけどな。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/21 19:13

g(x) が実際どんな式なのかは、質問者からコメントが来ないと判りようがない

のだけれど...
No.2 の解釈だと、14(ii) はかなり面倒くさい。
No.3 の解釈でよいのかもしれない。
一応 No.2 の続きを書いてはおく。

f(x) = x²+(2-2a)x-6a+3,
g(x) = (2x²-2ax-1)/(2a²+2a+k)
であれば、(1)(2)(3) の結果
M = -(a²+4a-2),
m = -(1+a²/2)/(2a²+2a+k).
Ｍ, m のうち小さくない方を h(a) とするのだった。

上記の M= の式, m= の式はどちらも
a について見ると二次方程式だから、
同じ M の値を与える a は 2個以内
同じ ｍ の値を与える a も 2個以内しかない。
h(a) に同じ値を与える a が 3個以上あるということは
h(a) = M = m になっているということ。

M = m という式を、分母を払って a の方程式として整理すると
2(a²+4a-2)(2a²+2a+k) - (a²+2) = 0 となる。
F(a) = 2(a²+4a-2)(2a²+2a+k) - (a²+2) と置くと、
　　F(a) = 4a⁴ + 20a³ + (2ｋ+7)a^2 + (8k-8)a - (4k+2),
　　F’(a) = 16a³ + 60a² + 2(2ｋ+7)a + (8k-8),
　　F”(a) = 48a² + 120a + 2(2ｋ+7).
y = F(x) の増減を考えて、F(a) = 0 が解 a を 個以上持つような k
を求めれば、それが答えになるわけだが...
これが、なかなか面倒くさい。

まず、F”(a) に符号変化がある条件が
判別式 = 192(61-4k) > 0 で k < 61/4.　{ k < 15.25 }

k ≧ 61/4 の場合は、F’(a) が単調増加になるので
F(a) は唯一の極小値を持ち、F(a) = 0 となる a は 2個以下になる。

k < 61/4 の場合は、F’(a) が極大極小を持つ。
F’(a) の極小値が ≧0 であれば、やはり
F(a) は唯一の極小値を持ち、F(a) = 0 となる a は 2個以下になる。

F’(a) の極小値は、
F”(a) = 48a² + 120a + 2(2ｋ+7) = 0 の解のうち大きい方に対する
F’(a) = 16a³ + 60a² + 2(2ｋ+7)a + (8k-8) の値である。
F”(a) = 0　⇔　a = { -15 ± √(3(61-4k)) }/12,
F’(a) = F”(a)・(a/3 + 5/12) + (1/6){ (16k-244)a + (38k-83) }
より、極小値は
(1/6){ (16k-244){ -15 + √(3(61-4k)) }/12 + (38k-83) }
= (1/18){ 18(3k+37) - (61-4k) √(3(61-4k)) }.

これが <0 だという条件は、適当に移項して両辺 2 乗すると
64k^3 - 1956k^2 + 6862 k - 79129 < 0 と整理できる。
3次不等式だから、解公式に持ち込んで厳密解を得ることは可能だが
正直面倒くさくてやりきれない。
mathematica によると、答えは
k < (1/16)(163 + 3w - 21645/w)
ただし w = ³√(10592√6289 - 574439)
とのことである。　{ k < T,　T ≒ 1.19 }

この範囲の k に対して、F(a) は 2個の極小値と 1個の極大値を持つ。
その極小値が両方とも ≦0 (一方は <0) であることが、求めたい条件である。
ああ、まだ終わらない...

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/21 16:58

g(x)=2x²-2ax-(1/2)a²+2a+k

(1)
M=2
(2)
m=k+2a-a²
14(i)
a=-9/2.または.a=1/2.または.a=3/2
(ii)
-4<k<14

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/21 10:58

g(x)=2x²-2ax-1/2a²+2a+k = 2x²-2ax-(1/2)a²+2a+k

という解釈でいい？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/20 17:24

(1)

a = 0のとき f(x) = x²+2x+3 = (x+1)²+2
だから M = 2.

(2)
g(x) = 2x²-2ax-(1/2)a²+2a+k なのか
g(x) = 2x²-2ax-(1/(2a²))+2a+k なのか
g(x) = (2x²-2ax-1)/(2a²+2a+k) なのか判らないが、
とりあず、g(x) = (2x²-2ax-1)/(2a²+2a+k) と解釈してみる。
一応、空気を読んだつもり。

g(x) ={ 2(x-a/2)² - (1+a²/2) }/(2a²+2a+k)
だから、 m = -(1+a²/2)/(2a²+2a+k).

(3)
f(x) = (x+1-a)² - (1-a)² - 6a + 3 = (x+1-a)² - (a²+4a-2)
だから M = - (a^2+4a-2).
これと (2) を比べて小さくない方が h(a) になる。

14.
(i)
k = -1のとき m = -(1+a²/2)/(2a²+2a-1) = -1/4 + (2a-5)/(8a²+8a-4).
h(a) = m = -1/4 となる条件は、
　　(2a-5)/(8a²+8a-4) = 0 かつ M = - (a²+4a-2) ≦ -1/4.
これは、(2a-5)/(8a²+8a-4) = 0 の解 a = 5/2 で成り立っている。
h(a) = M = -1/4 となる条件は、
　　- (a²+4a-2) = -1/4 かつ (2a-5)/(8a²+8a-4) ≦ 0.
これは、- (a²+4a-2) = -1/4 の解 a = 1/2 でも a = -9/2 でもどちらでも成り立つ。

以上より、答えは a = 5/2, 1/2, -9/2.

(ii)
ｋ = -1 は、もちろん含まれるけれど...

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/20 17:09

何が分からないのですか？

二次関数の「最大、最小」をどうやって求めるか、「平方完成」というものがあることを知っていますか？

どこかのテレビCMにありましたが
「魚が欲しいのか、釣り方を知りたいのか」
という問題かと思います。
「釣り方」を知っている上で魚が欲しいのか、そもそも「釣り方」を知らないのか。