答えは分かるのですが解き方が分かりません！高校数学

正の整数nに対して、Sn=Σ[k=1→n](√(1+k/n^2)-1)とする
(1)正の実数に対して、不等式x/(2+x)≦√(1+x)-1≦x/2が成り立つことを示せ (2)極限値lim n→∞ Sn を求めよ。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/24 16:16

lim[n→∞]Sn=1/4

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/22 19:25

4(1+x)=4+4x≦4+4x+x^2=(2+x)^2

4(1+x)^2≦(1+x)(2+x)^2
{2(1+x)/(2+x)}^2≦1+x
1+x/(2+x)=(2+2x)/(2+x)≦√(1+x)
x/(2+x)≦√(1+x)-1

1+x≦1+x+x^2/4=(1+x/2)^2
√(1+x)≦1+x/2
√(1+x)-1≦x/2

x/(2+x)≦√(1+x)-1≦x/2

x=k/n^2
とすると

(k/n^2)/(2+k/n^2)≦√(1+k/n^2)-1≦k/(2n^2)
↓k=1～nまで加えると
Σ[k=1→n](k/n^2)/(2+k/n^2)≦Σ[k=1→n](√(1+k/n^2)-1)≦Σ[k=1→n]k/(2n^2)
↓Sn=Σ[k=1→n](√(1+k/n^2)-1)だから
Σ[k=1→n](k/n^2)/(2+k/n^2)≦Sn≦Σ[k=1→n]k/(2n^2)
↓Σ[k=1→n]k=n(n+1)/2だから
Σ[k=1→n](k/n^2)/(2+k/n^2)≦Sn≦n(n+1)/(4n^2)
Σ[k=1→n]k/(k+2n^2)≦Sn≦(1+1/n)/4

↓Σ[k=1→n]k/(n+2n^2)≦Σ[k=1→n]k/(k+2n^2)だから

Σ[k=1→n]k/(n+2n^2)≦Sn≦(1+1/n)/4

(1+1/n)/{2(1/n+2)}≦Sn≦(1+1/n)/4

↓n→∞とすると

1/4=lim[n→∞](1+1/n)/{2(1/n+2)}≦lim[n→∞]Sn≦lim[n→∞](1+1/n)/4=1/4

lim[n→∞]Sn=1/4

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/22 14:53

＞ 答えは分かるのですが解き方が分かりません

そんなこと、ありえんでしょ。
正解の値だけは教えてもらった という話かな？

(1) が (2) への誘導になってて、露骨に
区分求積法からハサミウチに持ち込めと
促されてることには気づいた？

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/22 14:32

(2) の答えが 1/4 なのは分かった(^^;