
exp[x^2]を定義に従って微分するにはどうしたらいいですか。
高校数学でも可能ですか。
自分の考え
hは十分小さい。
exp[(x+h)^2]-exp[x^2]
=exp[(x^2+2xh+h^2]-exp[x^2]
exp[x^2]でくくって
exp[x^2]{ exp[2xh+h^2]-1}
ここで、tは十分小さいものとして、
exp[t]~1+t→exp[t]-1~tより
t=2xh+h^2を代入して (∵hも小さい)
exp[x^2](2xh+h^2)
微分の定義より
exp[x^2](2xh+h^2)/h
=exp[x^2](2x+h)
h→0
2x exp[x^2 ]となる。
数学Ⅲの微積習いたての高校生でもできるくらいもっと簡単にできませんか。
理工系の大学生のため数学科がやるよな厳密な数学だと回答が読めません。すみません。
No.8
- 回答日時:
←No.6
ちな、No.4 は「微分係数」の定義に沿ったつもり。
冪級数展開の係数だから「微分係数」って呼ぶ とすれば、
n 次微分係数は、テイラー展開の n 次項に n! を掛けたもの
として定義される。
この定義は、高次微分係数について明快だと思う。
No.7
- 回答日時:
定義に従ってというのは
導関数の定義に戻ってという
意味だろうか?
それも面白いけど、汎用性がないので
合成関数の導関数の公式の証明を行ったうえで
それを使う方がよいと思う。
https://hiraocafe.com/note/differential_of_compo …
工学系なら簡単な証明の方で十分
No.6
- 回答日時:
細かい話で恐縮ですが理工系の大学生との事なので少し。
大学の微積分には高校では習わなかった「微分」と言う概念が出て来ます。もちろんこれは「導関数を求める」と言う意味ではなく多変数関数で言う全微分に当たるものです。なので質問文の「微分の定義より」とある所は本来は「導関数の定義より」と書くべきだったと思います。
No.5
- 回答日時:
数学科の学生もれっきとした「理工系の大学生」ですが。
それに現役の理工系の大学生であれば「導関数等の実際の計算は高校数学と全く同じ」と言う事はお分かりのはずだと思います。大学で習うイプシロン・デルタ論法は極限値の定義ないし基礎付けに必要と言うだけであって、実際の計算にはほぼ使いません。回答ありがとうございます。
あーー、自分の通っているキャンパスで考えてました。数学科とある学科(ちょっと特殊な名前の学科で、学校バレするので言いません。)だけ別のキャンパスにあって、数学科のことは頭になかったです。
No.4
- 回答日時:
exp の定義 exp(z) = Σ[k=0→∞] (1/k!)z^k に
z = (x+h)^2 を代入すると、
exp((x+h)^2) = Σ[k=0→∞] (1/k!)(x+h)^(2k)
= Σ[k=0→∞] (1/k!) Σ[j=0→2k] ((2k)Cj)(x^(2k-j))h^j
= { Σ[k=0→∞] (1/k!) 1 x^(2^k) } ← j=0 の項
+ { Σ[k=1→∞] (1/k!) (2k) (x^(2k-1))h } ← j=1 の項
+ { Σ[k=1→∞] (1/k!) Σ[j=2→2k] ((2k)Cj)(x^(2k-j))h^j }
= { Σ[k=0→∞] (1/k!) (x^2)^k) }
+ 2x { Σ[k=1→∞] (1/(k-1)!) (x^2)^(k-1)) } h
+ { Σ[k=1→∞] (1/k!) Σ[j=2→2k] ((2k)Cj)(x^(2k-j))h^(j-1) } h^2
= exp(x^2)
+ 2x exp(x^2) h
+ O(h^2).
テイラーの定理を用いた微分係数の定義により、
(d/dx) exp(x^2) = 2x exp(x^2) になります。
回答ありがとうございます。
exp[x]の定義から導くのですね。初めてみました。合成関数の微分法を示したほうが早いかもしれませんね。
ありがとうございます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 ガウス積分の計算がうまくいきません。助けてください。 量子力学で∫[-∞→∞]exp[-ax^2+i 2 2024/07/24 21:58
- 物理学 電磁気学の問題について教えて欲しいです. 1 2023/05/05 17:01
- 物理学 数学、物理に強い方に質問です。 (d/dx -x)^(n-1) exp[x^2/2] d/dx (e 1 2024/12/04 18:43
- 物理学 数学、物理に強い方に質問です。 (d/dx -x)^(n-1) exp[x^/2] d/dx (ex 2 2024/12/03 01:45
- 数学 f(x)=exp(-(2x-a)^2)のフーリエ変換の求めろという問題分かりません。教えて欲しいです 2 2022/12/18 18:15
- 数学 積分 大学数学・物理 1 2023/01/30 19:43
- 数学 公共建築工事 共通仮設費率 エクセル 3 2023/09/11 13:46
- 数学 積分(大学数学) 1 2023/01/23 16:43
- 数学 paythonを使用した周回積分に関する質問です。 2 2023/02/17 19:09
- 数学 数学の質問です。 関数f(t)のフーリエ変換をF(ω)=∫[-∞→∞]f(t)exp(-iωt)dt 1 2023/07/29 01:08
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
あなたの「必」の書き順を教えてください
ふだん、どういう書き順で「必」を書いていますか? みなさんの色んな書き順を知りたいです。 画像のA~Eを使って教えてください。
-
スマホに会話を聞かれているな!?と思ったことありますか?
スマートフォンで検索はしてないのに、友達と話していた製品の広告が直後に出てきたりすることってありませんか? こんな感じでスマホに会話を聞かれているかも!?と思ったエピソードってありますか?
-
みんなの【マイ・ベスト積読2024】を教えてください。
積読、ついついしちゃいませんか?そこでみなさんの 「2024年に買ったベスト積読」を聞きたいです。
-
この人頭いいなと思ったエピソード
一緒にいたときに「この人頭いいな」と思ったエピソードを教えてください
-
泣きながら食べたご飯の思い出
泣きながら食べたご飯の思い出を教えてください。
-
f(x)=f(x²)はどんなグラフになりますか?
数学
-
中3数学因数分解について
数学
-
高校数学において(dx/dt)×dt=dx は形式的に約分のように扱ってよいと言われていますが、高校
数学
-
-
4
中高で数学をやる意義は? と聞かれたらみなさんなんて答えます?
数学
-
5
√1って|1|もしくは±1ですよね?
数学
-
6
問2なのですが、黄色い線から青い線になる計算がどうやってやったのか分かりません(´;ω;`)解説お願
数学
-
7
ドモアブルの定理はサインまたはコサインの前に定数がかけられている場合(2cosθ+2isinθのよう
数学
-
8
cos^2θ/tanθ=1でθを出すことはできますか? 出せるならどうやって出すのかなどを教えていた
数学
-
9
1/z^2 を z=i の周りで展開しなさい。 この問題が分からないです。また複素関数論のいい教科書
数学
-
10
円1:x²+y²=4と円2:(x-2)²+y²=1の交点を求めようと思って円1の方程式を変形してy²
数学
-
11
0≦x≦1において 赤く囲んだ不等式を証明する問題ですが、この解き方は合ってますか?
数学
-
12
簡単なはずですが教えてください。
数学
-
13
円周率の他に平行率ってありますか? まっ平ら率かな
数学
-
14
余弦定理
数学
-
15
少数を分数に直す時に素早くできる方法ありませんか? 例えば4.2を21/5のように素早く計算したいで
数学
-
16
高校の微分の問題で、g(x)=x^3-3bx+3b^2のグラフはなぜ画像のようになるのですか? h(
数学
-
17
t=14+7s/2 s = -4a-4/3a+2 のときtを求めよ この計算問題で答えが t = 7
数学
-
18
5.0×10の二乗=C×10 計算の仕方教えてくださいお願いします
数学
-
19
この問題解説お願いします。
数学
-
20
なぜこのように極座標に変換できるのか教えてください 変換の手順が知りたいです
数学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・一番好きなみそ汁の具材は?
- ・泣きながら食べたご飯の思い出
- ・「これはヤバかったな」という遅刻エピソード
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・いちばん失敗した人決定戦
- ・思い出すきっかけは 音楽?におい?景色?
- ・あなたなりのストレス発散方法を教えてください!
- ・もし10億円当たったら何に使いますか?
- ・何回やってもうまくいかないことは?
- ・今年はじめたいことは?
- ・あなたの人生で一番ピンチに陥った瞬間は?
- ・初めて見た映画を教えてください!
- ・今の日本に期待することはなんですか?
- ・集中するためにやっていること
- ・テレビやラジオに出たことがある人、いますか?
- ・【お題】斜め上を行くスキー場にありがちなこと
- ・人生でいちばんスベッた瞬間
- ・コーピングについて教えてください
- ・あなたの「プチ贅沢」はなんですか?
- ・コンビニでおにぎりを買うときのスタメンはどの具?
- ・おすすめの美術館・博物館、教えてください!
- ・【お題】大変な警告
- ・洋服何着持ってますか?
- ・みんなの【マイ・ベスト積読2024】を教えてください。
- ・「これいらなくない?」という慣習、教えてください
- ・今から楽しみな予定はありますか?
- ・AIツールの活用方法を教えて
- ・最強の防寒、あったか術を教えてください!
- ・歳とったな〜〜と思ったことは?
- ・モテ期を経験した方いらっしゃいますか?
- ・好きな人を振り向かせるためにしたこと
- ・スマホに会話を聞かれているな!?と思ったことありますか?
- ・それもChatGPT!?と驚いた使用方法を教えてください
- ・見学に行くとしたら【天国】と【地獄】どっち?
- ・これまでで一番「情けなかったとき」はいつですか?
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・あなたの「必」の書き順を教えてください
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・人生最悪の忘れ物
- ・あなたの習慣について教えてください!!
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数一 オがわかりません 塾でこ...
-
数学
-
数学にはいろんな分野がありま...
-
数学 三角関数の近似 高校数学...
-
ホモトピー論で使うループやデ...
-
ペレルマンは、孤独を好む人な...
-
数学の質問です (k²-1)t²-2t+k²...
-
訂正:相対論は光を構成する場...
-
【至急】数IIの指数の解答で、4...
-
数学の公式や解法を覚えられな...
-
積分記号の読み方 高校で習う普...
-
2025.1.3 20:14にした質問で更...
-
グレゴリー級数の首足に関して...
-
グレゴリー級数
-
バッハと数学
-
確率分布
-
ホモトピー論で使うループやデ...
-
これ−8じゃなくて−4で、答え...
-
公庄という数学講師は授業はへ...
-
数II図形と方程式です。 12がわ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (...
-
2025.1.3 20:14にした質問で更...
-
タイヤの直径が40cmの一輪車が...
-
ピタゴラスの定理(2)
-
『笑わない数学 微分積分』のΔx...
-
じゃがいも、タマネギ詰め放題
-
半径1の円の面積がπになること...
-
【数学の相談です】 √12+6√3 の...
-
数学の問題です。 今、微分の問...
-
なぜこのように極座標に変換で...
-
内積計算の順番について
-
【数学】 この問題の解き方が分...
-
185cmをフィートとインチに直す...
-
七回やっても計算合わない
-
確率分布
-
何回かくじを引いて当たる確率
-
2x+4y-2 4x+18y+6 の連立方程式...
-
ナブラ▽ と行列の内積について...
-
f(x,y)=x^3+y^3 条件x^2+y^2=1...
-
二次関数の図形の移動について
おすすめ情報