これなに

これはなんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2025/03/06 17:19

書いてあるのはまちがいではないけど、ただ

Inf(sup_f)の式にしても、sup(Inf_f)の式にしても
添え字のｎとｋを入れ替えた方がわかりやすいと思います。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/06 08:19

なにも何も、そこに書いてあるとおり

limsup と liminf の定義ですよ。
他に何が？

limsup は「上極限」,
liminf は「下極限」といって、
lim を定義するのに使えますね。

limsup[n→∞] an = liminf[n→∞] an が成り立つとき、
lim[n→∞] an が「収束する」といって
lim[n→∞] an = limsup[n→∞] an = liminf[n→∞] an を値とする。

この定義は、普通の εN 論法による定義と同値になりますが、
sup, inf の定義は lim の定義よりシンプルなので
こっちのスタイルのほうがややスッキリした印象がありますね。

また、sup, inf は ±∞ まで含めれば必ず値が定まるので、
limsup[n→∞] an = liminf[n→∞] an = (有限値) のとき lim[n→∞] an は収束,
limsup[n→∞] an = liminf[n→∞] an = (±∞) のとき lim[n→∞] an は無限大発散,
limsup[n→∞] an ≠ liminf[n→∞] an のとき lim[n→∞] an は発散(振動発散)
と高校流のイメージで収束発散を分類することもできます。
無限大発散を「無限大収束」と呼ぶ場合があるのも、この辺が起源でしょう。

lim が定義できた後では、画像に文で書いてあるとおり
limsup[n→∞] an = lim[n→∞] sup[k>n] an,
liminf[n→∞] an = lim[n→∞] inf[k>n] an も成り立ちますが、
lim を定義するために limsup, liminf を使いたいので
こちらを limsup, liminf の定義にするのは本末転倒でしょうね。