No.4
- 回答日時:
l,m,nが正から、相加平均・相乗平均を使う。
l+1/l≧2、m+1/m≧2、n+1/n≧2 (等号成立はl=m=n=1)
3辺を加えると、k=(l+1/l)+(m+1/m)+(n+1/n)≧6。
従って、k=4は不適です。
No.2
- 回答日時:
よくある整数問題の、ちょっとした変形です。
l,m,nが自然数のとき、kが自然数であるためには、1/l+1/m+1/n=x ‥‥(1)も自然数でなければならない。
l≧m≧nと仮定しても一般性を失わないから、1/l≦1/m≦1/nより、1/l+1/m+1/n≦3/n‥‥(2).
(1)と(2)より、nx≦3‥‥(3).
従って、
(1)x=1のときは、n=1、2、3。
(2)x=2のときは、n=1。
(3)x=3のときは、n=1。
これら(1)~(3)の場合の整数値の求め方は、一般的ですから省略します。
但し、答えは k=6、10、11、12。。。。。計算違いをしていなければですが?
No.1
- 回答日時:
不等式は使わないのではないかと思います.
上からおさえられればいいのですが,良い方法が見つかりません.
そこで、私の考えた方法を記します.
(i)l=m,l not= nのとき,
2m+2/m+n+1/n=k
2/m+1/n=p , pが自然数
となるには,
(m,n)=(2,1),(4,2)
(1,2)のとき,k=7
(4,2)のとき,k=11
(ii)l=m=nのとき,
3n+3/n=k
これを満たすには, n=1,3.
n=1のとき,k=4.
n=3のとき,k=10.
(iii)全て違うとき,
1/l + 1/m + 1/n=1を満たさなければならない.
なぜならば,もし右辺が2であるならば,
(l,m,n)=(1,2,2)... となり,不適.
右辺が3のときも同様.
このとき,lm=n かつ l+m=n-1を満たす.
よって,(l,m,n)=(2,3,6),.
このとき,k=12.
よって,k=4,7,10,11,12.
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