数学 ある自然数a,b,c,dは互いに素とし、 a/b>c/dという不等式が成り立つなら なぜb/a

数学

ある自然数a,b,c,dは互いに素とし、
a/b>c/dという不等式が成り立つなら
なぜb/a<d/cの不等式も成り立つのですか？
またこれらの文字が負の数を含むときでも成り立ちますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2024/04/05 08:49

a>0, b>0, c>0, d>0のとき

a/b>c/d
両辺にbdをかけると（b>0, d>0なのでbd>0)
ad>bc
両辺をacで割ると(a>0, c>0なのでac>0)
d/c>b/a

負の数が含まれると成り立ちません。
たとえば、a>0,b>0, c>0, d<0の場合、
a/b>0, c/d<0なので、a/b>c/d
一方で、b/a>0,d/c<0なので、b/a>d/cです。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/05 20:28

a/b>c/d

↓両辺にbd/(ac)>0をかけると
d/c>b/a
↓左右を入れ替えると
b/a<d/c

a=1
b=1
c=-1
d=1
とすると
a/b=1>-1=c/d
b/a=1>-1=d/c
だから
負の数を含む場合は成り立たない

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/05 12:57

a/b>c/d

↓両辺にbd/(ac)>0をかけると
d/c>b/a
↓左右を入れ替えると
b/a<d/c

負の数を含む場合は成り立たない

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/04/05 10:55

「自然数」だとか「互いに素」だとかは関係ありません。

4つの実数a,b,c,dが
　　abcd＞0
をみたすなら、「a/b＞c/d と b/a＜d/c は同じ意味（互いに必要十分条件）」になります。

証明
　　abcd＞0
が成り立つとします。このとき、a, b, c, dはどれも0ではないことは明らかです。さらに、(ac)² は（aとcがそれぞれ0以外のどんな値であっても）正です。
　そこで、abcd＞0 の両辺を(ac)² で割り算すると、 (ac)²＞0なので
　　(abcd)/(ac)² ＞ 0
すなわち
　　(bd)/(ac) ＞ 0
です。
　以上の準備のもとで、
　　a/b ＞ c/d
の両辺に((bd)/(ac))を掛け算すると、(bd)/(ac) ＞0 なので
　　(a/b)(bd)/(ac) > (c/d)(bd)/(ac)
ですから、
　　d/c ＞ b/a
です。そして逆に
　　d/c ＞ b/a
の両辺を((bd)/(ac))で割り算すると、(bd)/(ac) ＞0 なので
　　(d/c)/((bd)/(ac)) > (b/a)/((bd)/(ac))
ですから、
　　a/b ＞ c/d
です。（証明終）

　さて、「abcd＜0だったら、a/b＞c/d と b/a＜d/c の関係はどうなるか」という検討はご自分でやってみると良いでしょう。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/05 09:33

「自然数 = 正の整数」であれば、かけても割っても不等号の向きは変わらないので成り立ちます。

負数を含む場合には、かけたり割ったりすると不等号の向きが逆転するので成り立ちません。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/05 08:59

正の有理数 p, q で p < q なら 1/p > 1/q

と同等ですよね。

成り立ちます。

>文字が負の数を含むときでも成り立ちますか？

反例
a=b=1, c=1, d=-1

No.1 回答者： hinso_0222 回答日時： 2024/04/05 08:12

はい。

成り立ちます。