│x-7│+│x-8│＜3 この不等式を解け、という問なのですが、画像で線を引いた部分でつまずいてい

│x-7│+│x-8│＜3
この不等式を解け、という問なのですが、画像で線を引いた部分でつまずいています。
｢常に成り立つ｣のはなぜですか？この部分を詳しく説明していただきたいです。お願いします。

もし、1<3が1<4ならば、3より大きい数もあるので成り立たない、という事ですか？

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/05/24 14:21

どのように【成り立つ】【成り立たない】を区別するのですか？

＞ケースバイケースです。式の意味と、問題の意味、自分の解答の文脈を正確に把握することが重要です。
｛ひょっとすると「常に」はカッコ付きで考えると良いかもです。
つまり、ｘが7以上8未満では│x-7│+│x-8│＜３は(常に)成り立つというように、自分の中では「常に」を読み飛ばすくらいの方が理解が進むかも。答案には省略してはいけませんが｝


細かく見るとすれば
・（本問のように、一旦問題から離れて）登場する式が(常に)成り立つのか、成り立たないのか判断します。
例
ｘが7以上8未満では│x-7│+│x-8│＜３が常に成り立つ
（常にとは、ｘが7以上8未満ならば、just7 7.1 7.2 ・・・7.9 7.99のうちのいずれの値でも　という意味。
つまりｘが7以上8未満ならば、just7 7.1 7.2 ・・・7.9・・・ 7.99999･･･のうちのいずれの値でも│x-7│+│x-8│＜３が成り立つという事）
→成り立つ理由は先行の回答で示した通り
ｘが7以上8未満ならば、(7 7.1 7.2 ・・・7.9・・・ 7.99999･･･のうちのいずれの値でも)
│x-7│+│x-8│=1となるから。

もしこれが│x-7│+│x-8│＜４でも　常に成り立つ　となります。
(ｘが7以上8未満ならば│x-7│+│x-8│=1 だから
1に相当する式：│x-7│+│x-8│は　４より小さいから)
でも、│x-7│+│x-8│＜-1の場合は　常に成り立たないとなります。
(ｘが7以上8未満ならば│x-7│+│x-8│=1 だから
1に相当する式：│x-7│+│x-8│は　－１より小さいという事にはならないから。)

リンク先の（問題の内容は棚上げして）0･x<4という式だけを取り出して考えれば
当然0･x=0ですからxがどんな数値でも0･xは０に相当します。
xがどんな数値でも０に相当する式：0･xが、４より小さいのは当然な事なので
xがどんな数値でも0･x<4が成り立つ→常に0･x<4が成り立つ
⇒⇒⇒言い換えれば0･x<4の解はｘがどんな数値でもOK→0･x<4の解は全ての実数　となります。
(参考:4x-4=0 が成り立つのはx=1 →4x-4=0の解はx=1)



・次に不等式が常に成り立つ、または成り立たないことことから次にどんなことが言えるのかを考えます。
ｘが7以上8未満では│x-7│+│x-8│＜３が常に成り立つ　ということから、
⇒7以上8未満のｘは|x-7│+│x-8│＜３　の解、すなわち　7≦x<8は│x-7│+│x-8│＜３の解　
という事につながっていきます。
（＜混乱するようならこのカッコは読み飛ばしてください＞参考：不等式の解とは不等式を満たすｘの値の事。
例：x=7.5は代入すると│x-7│+│x-8│＜３を満たすから、この不等式の解の１つ
x=5は0･x<4を満たすからx=5は0･x<4の解の１つ
そして、不等式を解くとは、不等式を満たす解（ｘ）をすべて求めることを言います。「ｘが7以上8未満ならば、just7 7.1 7.2 ・・・7.9・・・ 7.99999･･･のうちのいずれの値でも│x-7│+│x-8│＜３が成り立つという事」から、
不等式│x-7│+│x-8│＜３を場合分けして解いていたら、│x-7│+│x-8│＜３を満たすｘの1部ではあるけれども、とりあいず7≦x<8が得られたということになります。）

↓
そして、ｘが7以上8未満　以外ではどうなのか改めて調べるという流れ

リンク先の問題では①の解がx<4すなわち②の解がx<4でなくてはならないとあるのですが、
a+2=0のときは、常に0･x<4が成り立つ⇒0･x<4の解は全ての実数　だから、解がx<4でなくてはならないことらからはみ出しています。
よってこの場合は不適合（条件は満たさない）ということにつながっていきます。

このように不等式の成立、不成立の判断を、１つのピースとして行い（上記前半)、
このピースにくっつくのは、どんなことか（どんな内容のピースかと（上記後半部分））と考えるようにすると良さそうです。

参考になれば良いですね！＾＾

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/05/19 18:32

最後の行が言葉足らずでしたので再投稿

まず、場合分け②はｘが7以上8未満というのが大前提ということを押さえておきましょう。
そして、不等式の事は一旦忘れて、│x-7│+│x-8│のことだけを考えてみましょう。

ｘが仮にこの範囲の数値7.5だとしたらどうでしょう？
│x-7│+│x-8│は絶対値を外すと
x-7+(-x+8)=1ですよね＜＜＜∵│x-7│=|0.5|=0.5 |x-8|=|-0.5|=-(-0.5)となるから、前者はそのまま、後者は中身を-1倍して絶対値をはずすため>＞＞
これは、7以上8未満でx=7.5以外の場合でも同じです。
②の範囲のときは│x-7│+│x-8│は絶対値を外すと
常に│x-7│+│x-8│=x-7+(-x+8)=1

そして、ここで不等式の事を思い出します。
②の範囲では│x-7│+│x-8│は常に＋1なのだから
│x-7│+│x-8│は常に３よりも小さいというのは正しいですよね。

これを式で表現すると②の範囲では常に
│x-7│+│x-8│＜３
言い方を変えると
②の範囲では不等式│x-7│+│x-8│＜３が常に成り立つ　＜＜＜★ここ一言つけくわえました。
となります。

この回答へのお礼

https://search.yahoo.co.jp/wrs/FOR=YxD_YKhV3iiM_ …
この問の場合は、同じように｢数<数｣なのに成り立ちません。
どのように【成り立つ】【成り立たない】を区別するのですか？

お礼日時：2018/05/20 10:59

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/05/19 18:20

まず、場合分け②はｘが7以上8未満というのが大前提ということを押さえておきましょう。

そして、不等式の事は一旦忘れて、│x-7│+│x-8│のことだけを考えてみましょう。

ｘが仮にこの範囲の数値7.5だとしたらどうでしょう？
│x-7│+│x-8│は絶対値を外すと
x-7+(-x+8)=1ですよね＜＜＜∵│x-7│=|0.5|=0.5 |x-8|=|-0.5|=-(-0.5)となるから、前者はそのまま、後者は中身を-1倍して絶対値をはずすため>＞＞
これは、7以上8未満でx=7.5以外の場合でも同じです。
②の範囲のときは│x-7│+│x-8│は絶対値を外すと
常に│x-7│+│x-8│=x-7+(-x+8)=1

そして、ここで不等式の事を思い出します。
②の範囲では│x-7│+│x-8│は常に＋1なのだから
│x-7│+│x-8│は常に３よりも小さいというのは正しいですよね。

これを式で表現すると②の範囲では常に
│x-7│+│x-8│＜３
言い方を変えると
②の範囲では不等式│x-7│+│x-8│＜３
となります。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/19 16:15

＞もし、1<3が1<4ならば、3より大きい数もあるので成り立たない、という事ですか？

違います。

7≦x<8の時は、|x－7|＋|x－8|=1になりますよね？

要するに7≦x<8では、どのようなxを取っても1になるので、3未満ですよね。

常に成り立つというのは、7≦x<8では、|x－7|＋|x－8|=1<3となり、7≦x<8のどのxを取っても|x－7|＋|x－8|<3が成り立つということです。