凹関数について

f:R→Rが微分可能であるとする。f(x)が凹関数ならば、任意のx_1,x_2∈Rに対して
f(x_2)≦f(x_1)+f'(x_1)*(x_2-x_1)
が成り立つことを示せ
という問題の解き方が一向に分かりません。解説を見ても本当にその変形が成り立つのかもなぜそんな発想になるのかもよく分かりません。どなたか教えて頂けると幸いです。画像の(3)下から2行目は解説の中でも特に分からない部分です。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 遅くなってすいません。何故か規約違反で一時質問が消されてました。
  とても詳しい解説ありがとうございます！かなり理解が進みました。これは院試とか定期テストみたいなので出てきた時はx1>x2の場合も示した方がいいと思われますか？それとも最後に逆の大小関係のときはx1とx2を入れ替えれば同様の議論ができると書いて省略してもいいと思われますか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/11/13 13:41

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/08 01:23

x1, x2のどっちが大きくても結局同じことですが、まずはx2>x1の場合に限定してやってみましょう。

(x1, f(x1)) と(x2, f(x2))を結ぶ線分上の点の集合を{(x,y(x))| x1≦x≦x2}とすると、y(x)（すなわちこの線分の方程式）は
　　y(x) = f(x1) + (f(x2)-f(x1))(x-x1)/(x2-x1)
ですね。さて、f(x)は凹関数の定義によって、x1≦x≦x2 であるどのxについても
　　f(x) ≧ y(x)
を満たしている。一方、f'(x1)は微係数の定義によって
　　f'(x1) = lim{Δx→0} (f(x1+Δx) - f(x1))/Δx
であって、fが微分可能なのだから、f'(x1)が存在する。0＜Δx＜x2-x1 のとき
　　f(x1+Δx) ≧ y(x1+Δx)
だから
　　f(x1+Δx) - f(x1) ≧ (f(x2)-f(x1))Δx/(x2-x1)
ゆえに
　　 (f(x1+Δx) - f(x1))/Δx ≧ (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
なので、
　　f'(x1) ≧ lim{Δx→0} (f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
つまり
　　f(x1) + (x2-x1)f'(x1) ≧ f(x2)