No.5ベストアンサー
- 回答日時:
もう既にいくつも回答がありますが、
不等式(2) で回答しているので、ついでに回答しときます
a x^2 + 4x + a -3 > 0 ってことは、
y = a x^2 + 4x + a -3 というグラフが すべての x について
x軸より上で、x軸と交わらないこと
y = a (x^2 + (4/a) x + (2/a)^2 ) - 4/a + a -3
= a (x + 2/a)^2 - 4 /a + a - 3
a はマイナスだと、x 軸より下の部ができちゃうので a > 0
最小値の - 4 /a + a - 3 > 0
a > 0 なので a をかけても大丈夫
-4 + a^2 - 3a > 0
(a - 4)(a + 1) > 0
a > 0 なので a > 4
【答え】 a > 4
No.7
- 回答日時:
修正の上塗りしながら、ファィナル?
>ax^2 + 4x + a - 3 > 0 が全ての実数xについて成り立てばよい…でよろしいでしょうか?
>は可らしいけど、そのあとの推論は錯誤。
>ax^2 + 4x = a{x + (2/a)}^2 - (4/a) なので、
> {x + (2/a)}^2 ≧0 > 3 + (4/a) - a が成り立てばよさそう。
>みたいで、以下ドミノ倒し。
この不等式は a>0 にしか通用しないけど、ひとまず結果を。
0 > 3 + (4/a) - a = (-a^2 + 3a + 4)/a = -(a+1)(a-4)/a
↓
a> 4
a<0 だと、
{x + (2/a)}^2 < 3 + (4/a) - a が成り立たねばならず、左辺に有限な上限は無い。
つまり「不可解」。
No.4
- 回答日時:
ax^2 + 4x + a - 3 > 0 が全ての実数xについて成り立てばよい…でよろしいでしょうか?
ax^2 + 4x = a{x + (2/a)}^2 - (4/a) なので、a - 3 - (4/a) > 0 が成り立てばよさそう。
(a^2 - 3a - 4)/a
と通分したとき、
a>0 ならば a^2 - 3a - 4 > 0 が、
a<0 ならば a^2 - 3a - 4 < 0 が成り立てばよさそう。 …(0)
a^2 - 3a - 4 = (a+1)(a-4) でしょうから、
a<-1 にて a^2 - 3a - 4 > 0 …(1)
-1<a<4 にて a^2 - 3a - 4 < 0 …(2)
4<a にて a^2 - 3a - 4 > 0 …(3)
(0) の条件と照合してみる。
ここで、(…)/a の分母 a を勘案。
(1) → NG
(2) → -1<a<0 なら OK
→ 0<a<4 なら NG
(3) → OK
…で、罠に引っかかったのかナ?
No.3
- 回答日時:
a<0のとき、上に凸の二次関数なので、必ずax^2+4x+a<3となるxが存在するので不適。
同様に、a=0のときも4x<3となるxは存在するので不適。
よってa>0
f(x)=ax^2+4x+a-3>0 を満たすことは、f(x)=0の解が存在しないことと同値
判別式D/4 = 4-a(a-3) < 0
a^2-3a-4 > 0
(a-4)(a+1)>0
a<-1 または a>4
No.2
- 回答日時:
与式が成立するときは
y=ax^2+4x+a-3 を図示すると、この放物線がx軸との交点を持たないので、右辺の判別式が負という式が成り立ちます。
つまり D/4=4-a(a-3)<0 となります。 ここから後の計算は御自分でどうぞ。
No.1
- 回答日時:
ax^2 + 4x + a > 3
を変形して、
ax^2 + 4x + a - 3 > 0
この2次不等式がすべての実数について成り立つとは、
ax^2 + 4x + a - 3 = 0
という2次方程式が実数解を持たないことと同値である。
2次方程式が実数解を持たないための条件は、判別式 < 0
D/4 = 2^2 - a(a - 3) < 0
a^2 - 3a - 4 > 0
(a + 1)(a - 4) > 0
∴a < -1 または a > 4
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