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★点(x、y)が、不等式(x-3)^2+(y-2)^2≦1の表す領域上を動くとする。
 (1)y/xの最大値を求めよ
 (2)10x+10yの最大の整数値を求めよ

この問題について説明をお願いいたします。

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A 回答 (3件)

(1) y/x=kとおいて y=kx 元の不等式に代入した


xの二次不等式
(x-3)^2+(kx-2)^2≦1
(1+k^2)x^2-2(3+2k))x+12≦0
を満たす実数xが存在する条件
D/4=-8*k^2+12*k-3≧0
からkの範囲を求める。
(3-√3)/4≦k≦(3+√3)/4
その範囲のkの上限が
k=y/xの最大値となる。
このときのxはkの最大値のk=(3+√3)/4を
(1+k^2)x^2-2(3+2k))x+12=0
に代入したときの重解として得られ 
yは y=kxから得られる。

お分かりになりましたか?

(2)も10x+10y=10kとおいて y=k-x を元の不等式に代入した
(x-3)^2+(k-x-2)^2≦1
を満たす実数xが存在する条件
D/4≧0からkの範囲を求めれば
kの範囲がでます。
10k(=10x+10y)の範囲の最大の整数になる10kを求めればよい。

(1)と殆ど同じなので出来ますね。

分からなければ、途中計算を補足に書いて質問して下さい。
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(1)、(2)ともに、それぞれとりうる値を置き換えて考えます。



(1) y/x= kと置きます。
(2) 10x+10y= mと置きます。

それぞれ、y=…の形に変形することができます。
そのとき、kや mの値に応じてグラフが「移動」します。
円との共有点をもつように「移動」させたときの最大値を考えればいいです。
同様にして、最小値を考えることもできます。
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>この問題について説明



説明が不足している点があるようには見受けられませんが。
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Q不等式の領域を動く点

この問題を解く手順と、用いる定理や公式を教えてください。
質問者は高2です。

3つの不等式x+y≦4,y≧2,x+2y≦8を同時に満たす領域をDとする。
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Aベストアンサー

x+y<=4より y<=-x+4 これを満たす領域は 直線y=-x+4より下(境界含む)
x+2y<=8より y<=x/2+4 これを満たす領域は 直線y=x/2+4より下(境界含む)
この二つと、y>=2を満たす領域をxy平面上に図示して下さい。


次に、
x-y=k とおくとy=x-k
これは傾き1の直線になります。上記で図示したxy平面の図の中を傾き1の直線が(領域Dと共有点を持ちながら)色々動くとき、y切片(つまりーk)が一番大きくなる時がkの最小値、y切片が一番小さくなる時がkの最大値を与えます。

Q円の内部領域での最大値は

円の内部領域での最大値は
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の内側の領域でX+Yが最大値、最小値ををとる場合を求めたいのですが、どうすればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

 #3です。
 お礼をありがとうございます。

>K=ー1,7までは理解できたのですが
> そこからXを求めるところが分かりません。よろしかったら丁寧にご教授をお願いします。

 その次にすることは、式(3)に代入してxを求めます。

> x^2-(k+5)x+(k^2+2k+9)/2=0 ・・・(3)

 ここで、式(3)の2次方程式の解は判別式Dを使って表すと、次のようになります。

  x={(k+5)±√D}/2  ・・・・・(4)

 しかし、k=-1,7 はD=0の条件で求めたものですので、式(4)は実は次のようになります。

  x=(k+5)/2  ・・・・・(5)

 あとは、この式(5)にkの値を代入して、xを求めます。

(a) k=-1のとき 式(5)から
  x=(-1+5)/2=2

 次に、yは式(2)を次のように変形して求めます。

  y=k-x  ・・・・(2')

 x=2 でしたから、これを代入して
  y=-1-2=-3
となります。

(b) k=7 のときも同じやり方です。
  式(5)と式(2')を使って確かめてみてください。

 #3です。
 お礼をありがとうございます。

>K=ー1,7までは理解できたのですが
> そこからXを求めるところが分かりません。よろしかったら丁寧にご教授をお願いします。

 その次にすることは、式(3)に代入してxを求めます。

> x^2-(k+5)x+(k^2+2k+9)/2=0 ・・・(3)

 ここで、式(3)の2次方程式の解は判別式Dを使って表すと、次のようになります。

  x={(k+5)±√D}/2  ・・・・・(4)

 しかし、k=-1,7 はD=0の条件で求めたものですので、式(4)は実は次のようになります。

  x...続きを読む

Q解法を教えてください

次の連立不等式の表す領域をDとする。
(x-1)^2+(y+1)^2≦1
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(1)領域Dの面積を求めよ
(2)点(x,y)が領域Dを動くとき、x+√3yの最大値と最小値を求めよ。またそのときのx,yの値を求めよ。

答え
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(2)x=3/2,y=(√3-2)/2のとき、最大値3-√3 x=0,y=-1のとき、最小値-√3

Aベストアンサー

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(x-y-1)(x+√3y-1)≧0   (2)


(1)領域Dの面積を求めよ

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(2)点(x,y)が領域Dを動くとき、x+√3yの最大値と最小値を求めよ。またそのときのx,yの値を求めよ。

k=x+√3y   (4)

とおくとkを定数とすると、これは直線の方程式で直線(3)に平行な直線であることがわかりますか。(3)はk=1の場合。

x+√3yの最大値と最小値を求めろということは直線(4)をkを変えながら(平行移動しながら)kが最大になる点と最小になる点を見つけろということです。

最大は(4)がA'の円弧に接する場合、最小はB'の点Qを通る場合というのが図から直ちに読み取れますか。

最大:

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2次式は

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4y^2+2[1-√3(k-1)]y+(k-1)^2=0   (5)

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k-1=-√3±-√(3+1)=-√3±2

k=1-√3±2

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よってk=3-√3が最大値。

この時(5)より

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(4)よりx=k-√3y=3/2

最少:Qを通るとき

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以上より


x=3/2,y=(√3-2)/2のとき、最大値3-√3 x=0,y=-1のとき、最小値-√3

(x-1)^2+(y+1)^2≦1 (1)

(x-y-1)(x+√3y-1)≧0   (2)


(1)領域Dの面積を求めよ

この問題を解けるためには(1)、(2)が表す図形を完全にxy-平面上に描けて、Dがどこかを示せる必要があります。Dの面積を求めるというのは図が描ければ中学生の知識でできます。図が描けるというのは相当な実力です。図は以下のようになっていれば正解です。


(1)は中心C(1,-1)の円の中側(境界を含む)

(2)は2直線

x-y-1=0     (2)

x+√3y-1=0    (3)

で挟まれた向かい合う2つの領域で、原点O(0,0)を含む側Aと...続きを読む


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