解けない漸化式の問題なんですがどこで間違えたか分かりません

解けない漸化式の問題なんですがどこで間違えたか分かりません

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/23 22:58

以上を踏まえて、答案の例：

任意の自然数 n について 0 < 1 - a(n+1) < (1/2){ 1 - a(n) } < 1　←[＊]
であることを、数学的帰納法によって示す。

[1]
a(1) = 0 は所与。
また、漸化式により a(2) = { a(1)^2 + 3 }/4 = 3/4.
よって、 n = 1 のとき [＊] は確かに成り立っている。

[2]
n = k のとき [＊] が成り立つと仮定すると、
0 < 1 - a(k+1) < (1/2){ 1 - a(k) } < 1 より
0 < a(k+1) < 1 が成り立つ。
これと漸化式を使って、
1 - a(k+2) = 1 - { a(k+1)^2 + 3 }/4
　　　　　= { 1 - a(k+1)^2 }/4
　　　　　> { 1 - 1^2 }/4
　　　　　= 0,
1 - a(k+2) = 1 - { a(k+1)^2 + 3 }/4
　　　　　= { 1 - a(k+1)^2 }/4
　　　　　= (1/2){ 1 - a(k+1) }・{ 1 + a(k+1) }/2
　　　　　< (1/2){ 1 - a(k+1) }・{ 1 + 0 }/2
　　　　　< (1/2){ 1 - a(k+1) }.
すなわち、 n = k+1 のときも [＊] が成り立つ。

[1][2] より数学的帰納法によって、
任意の自然数 n について [＊] は成り立つ。

前に書いたように、[＊] が
1 - a(n+1) < (1/2){ 1 - a(n) } よりも拡張してあるのがミソ。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2022/08/24 22:16

ちょっとグラフを描いてみると、この漸化式が何やってるんだか分かりやすくなって、ナニをドウ証明すればいいかもピンと来やすくなると思う。

（ついでに、出発値が0でない場合も描いてあります。）

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/23 22:20

＞ 0<an<1だと<ではないんですか？

0<a(n)<1 自体を示す必要があるけど、
そのことに気づいたのはよかった。

でも、 0<x<1 だったら
(1/4)(x+1)(x-1) < (1/4)2(x-1) はなり立たなくね？
y = (x+1)(x-1) と y = 2(x-1) のグラフを書いて
比べてみたらいい。

あるいは、a(n)+1<2 の両辺に a(n)-1 を掛けると、
a(n)-1<0 だから不等号が反転して {a(n)+1}{a(n)-1}>2{a(n)-1} になる
と考えてもいい。　；この考え方が本命かな？

わざわざ問題文が 1-a(ｎ+1) と書いてくれてることに倣って、
a(n+1)-1 と a(n)-1 の関係じゃなく
最初から 1-a(n+1) と 1-a(n) の関係を導こうとすれば、
あなたのミスは生じる機会が無かったのかもしれない。　；素直って大切。

この回答へのお礼

最後にひっくり返ってくれるかと期待してました……

お礼日時：2022/08/23 22:26

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/23 20:18

a(1)=0

a(n+1)=(3+{a(n)}^2)/4

ある自然数nに対して
0≦a(n)<1
と仮定すると
0≦{a(n)}^2<1
3≦3+{a(n)}^2<4
3/4≦{3+{a(n)}^2}/4<1
3/4≦a(n+1)<1
だから
全ての自然数nに対して
0≦a(n)<1

0
<1-a(n+1)
=1-({a(n)}^2+3)/4
=(1/4)(1-{a(n)}^2)
=(1/4){a(n)+1}{1-a(n)}
<(2/4){1-a(n)}
=(1/2){1-a(n)}

∴
1-a(n+1)<(1/2){1-a(n)}

この回答へのお礼

不等式にした瞬間油断してたってことですかね……

お礼日時：2022/08/23 20:59

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/08/23 19:41

6行目

(an+1)(an-1)<2(an-1)なんて事、何で言えるの？？

an=2の時、(an+1)(an-1)=3、2(an-1)=2

この回答へのお礼

0<an<1
だからです

お礼日時：2022/08/23 20:11

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/23 19:24

不等号を導入するところで向きを間違えている.

根本的には, いきなりその不等式を示そうとしたことが間違い. これの前に 1つ示さなきゃならないことがある.

あと何が添え字なのかわかるように丁寧に書くこと.

この回答へのお礼

0<an<1だと<ではないんですか？

お礼日時：2022/08/23 20:12