No.5ベストアンサー
- 回答日時:
以上を踏まえて、答案の例:
任意の自然数 n について 0 < 1 - a(n+1) < (1/2){ 1 - a(n) } < 1 ←[*]
であることを、数学的帰納法によって示す。
[1]
a(1) = 0 は所与。
また、漸化式により a(2) = { a(1)^2 + 3 }/4 = 3/4.
よって、 n = 1 のとき [*] は確かに成り立っている。
[2]
n = k のとき [*] が成り立つと仮定すると、
0 < 1 - a(k+1) < (1/2){ 1 - a(k) } < 1 より
0 < a(k+1) < 1 が成り立つ。
これと漸化式を使って、
1 - a(k+2) = 1 - { a(k+1)^2 + 3 }/4
= { 1 - a(k+1)^2 }/4
> { 1 - 1^2 }/4
= 0,
1 - a(k+2) = 1 - { a(k+1)^2 + 3 }/4
= { 1 - a(k+1)^2 }/4
= (1/2){ 1 - a(k+1) }・{ 1 + a(k+1) }/2
< (1/2){ 1 - a(k+1) }・{ 1 + 0 }/2
< (1/2){ 1 - a(k+1) }.
すなわち、 n = k+1 のときも [*] が成り立つ。
[1][2] より数学的帰納法によって、
任意の自然数 n について [*] は成り立つ。
前に書いたように、[*] が
1 - a(n+1) < (1/2){ 1 - a(n) } よりも拡張してあるのがミソ。
No.6
- 回答日時:
ちょっとグラフを描いてみると、この漸化式が何やってるんだか分かりやすくなって、ナニをドウ証明すればいいかもピンと来やすくなると思う。
(ついでに、出発値が0でない場合も描いてあります。)
No.4
- 回答日時:
> 0<an<1だと<ではないんですか?
0<a(n)<1 自体を示す必要があるけど、
そのことに気づいたのはよかった。
でも、 0<x<1 だったら
(1/4)(x+1)(x-1) < (1/4)2(x-1) はなり立たなくね?
y = (x+1)(x-1) と y = 2(x-1) のグラフを書いて
比べてみたらいい。
あるいは、a(n)+1<2 の両辺に a(n)-1 を掛けると、
a(n)-1<0 だから不等号が反転して {a(n)+1}{a(n)-1}>2{a(n)-1} になる
と考えてもいい。 ;この考え方が本命かな?
わざわざ問題文が 1-a(n+1) と書いてくれてることに倣って、
a(n+1)-1 と a(n)-1 の関係じゃなく
最初から 1-a(n+1) と 1-a(n) の関係を導こうとすれば、
あなたのミスは生じる機会が無かったのかもしれない。 ;素直って大切。
No.3
- 回答日時:
a(1)=0
a(n+1)=(3+{a(n)}^2)/4
ある自然数nに対して
0≦a(n)<1
と仮定すると
0≦{a(n)}^2<1
3≦3+{a(n)}^2<4
3/4≦{3+{a(n)}^2}/4<1
3/4≦a(n+1)<1
だから
全ての自然数nに対して
0≦a(n)<1
0
<1-a(n+1)
=1-({a(n)}^2+3)/4
=(1/4)(1-{a(n)}^2)
=(1/4){a(n)+1}{1-a(n)}
<(2/4){1-a(n)}
=(1/2){1-a(n)}
∴
1-a(n+1)<(1/2){1-a(n)}

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