Ｍ／Ｍ／ｓ型 待ち行列の漸化式

Ｍ／Ｍ／ｓ型 待ち行列の漸化式の漸化式の解き方（途中経過も含む）を
教えてください

画像の4.46から 4.47～4.48の解き方が分かりません

n=1 n=2で予想して帰納法では証明できます

帰納法以外の解き方をお願いします

質問者からの補足コメント

• 1≤n≤s-1のとき
  (n+1)Pₙ₊₁ - aPₙ = nPₙ - aPₙ₋₁
  数列{nPₙ - aPₙ₋₁}が定数列
  P₁ - aP₀ = 0 だから1以上s未満の任意のnについて
  nPₙ - aPₙ₋₁ = 0
  両辺に(n-1)!をかけて
  n!Pₙ = a(n-1)!Pₙ₋₁
  数列{n!Pₙ}が公比aの等比数列
  n!Pₙ = aⁿ・0!P₀ = aⁿP₀
  Pₙ = aⁿP₀/n!
  これはn = 0, sのときも成立
  
  
  n≥sのとき、
  Pₙ₊₁ - Pₙ = (a/s)(Pₙ - Pₙ₋₁)
  数列{Pₙ}の階差が等比数列　n≥sに注意して、
  Pₙ - Pₙ₋₁ = (a/s)ⁿ⁻ˢ(Pₛ - Pₛ₋₁)
  Pₙ
  = Pₛ + (a/s)(Pₛ - Pₛ₋₁){(a/s)ⁿ⁻ˢ-1}/{(a/s)-1}
  = aˢ/s! + aˢ{(a/s)ⁿ⁻ˢ - 1}/s!
  = aⁿ/sⁿ⁻ˢs!

    補足日時：2022/10/25 14:40

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/22 21:49

如何な自然数nに関する命題 {P(n)}を帰納法なしに証明する

ことはかなわない。

答えを仮定しないで、という意味なら多少のことはできる。
数列を
　P[n]=(αⁿ/n!)Q[n]・・・・①
と変換する。

すると与式
　αP[n-1]+(n+1)P[n+1]=(α+n)P(n]
は
　nQ[n-1]+αQ[n+1]=(α+n)Q[n]
→ Q[n+1]-Q[n]=(n/α)(Q[n]-Q[n-1])
となる。

帰納法から
　(Q[n+1]-Q[n])=(n/α)(Q[n]-Q[n-1])
　　　　　={n(n-1)/α²}(Q[n-1]-Q[n-2])
　　　　　・・・・・
　　　　　=(n!/αⁿ)(Q[1]-Q[0])=(n!/αⁿ)(P[0]-P[0])=0
ここで、
　Q[0]=P[0], Q[1]=P[1]/α=P[0]
を使った。すると、帰納法から
　Q[n+1]=Q[n]=・・・・=Q[0]=P[0]

すると①から
　P[n]=(αⁿ/n!)P[0]

(4.48)も同様(・・・多分)。

この回答へのお礼

ありがとうございます

如何な自然数nに関する命題 {P(n)}を帰納法なしに証明する
ことはかなわない

ってことを知りませんでした

何でも高校数学みたいに解けるもんだと思ってました

こんなに早くに解決していただいて
ありがとうございます

お礼日時：2022/10/22 22:29