2つの関数 F(x), g(x) が
F(x) = ∫1からX (x - 2t) g'(t) dt (x > 0)
をみたすとする。ここでg'(t) はg(t) の導関数とする、以下の問いに答えよ。
(1) F(x) の導関数 F'(x) に対して、次の等式が成り立つことを示せ. F'(x) = g(x)-9(1)-xg'(x)
(2) g(x) = x(log x) 2 のとき, F(x) を求めよ。ここで対数は自然対数とする。
(2)の解き方がわかりません。答えは-x^2logx+1/2x^2-1/2です。
よろしくお願いします
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
g(x)=x(logx)^2
とすると
F'(x)
=g(x)-g(1)-xg'(x)
=x(logx)^2-x{(logx)^2+2logx}
=-2xlogx
F(x)
=∫(-2xlogx)dx
=(-x^2)logx-∫{(-x^2)/x}dx
=(-x^2)logx+∫xdx
=(-x^2)logx+(1/2)x^2+C
F(1)=∫_{1~1}(x-2t)g'(t)dt=0
だから
F(1)=(1/2)+C=0
C=-1/2
だから
∴
F(x)=(-x^2)logx+(1/2)x^2-1/2
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