数学を教えていただきたいです

2つの関数 F(x), g(x) が

F(x) = ∫1からX (x - 2t) g'(t) dt (x > 0)

をみたすとする。ここでg'(t) はg(t) の導関数とする、以下の問いに答えよ。

(1) F(x) の導関数 F'(x) に対して、次の等式が成り立つことを示せ. F'(x) = g(x)-9(1)-xg'(x)

(2) g(x) = x(log x) 2 のとき, F(x) を求めよ。ここで対数は自然対数とする。

(2)の解き方がわかりません。答えは-x^2logx+1/2x^2-1/2です。

よろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• すみません私が打ち間違えてます。
  9ではなくg x(logx)^2 大文字のＸではなくxです

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/11 22:34

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/12 11:21

g(x)=x(logx)^2

とすると

F'(x)
=g(x)-g(1)-xg'(x)
=x(logx)^2-x{(logx)^2+2logx}
=-2xlogx

F(x)
=∫(-2xlogx)dx
=(-x^2)logx-∫{(-x^2)/x}dx
=(-x^2)logx+∫xdx
=(-x^2)logx+(1/2)x^2+C

F(1)=∫_{1～1}(x-2t)g'(t)dt=0
だから

F(1)=(1/2)+C=0
C=-1/2
だから
∴
F(x)=(-x^2)logx+(1/2)x^2-1/2

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/11 23:28

F'(x) が求まってるんだから, そこから F(x) を求めるには (定) 積分すればよいだけでは?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/11 22:26

「9(1)」ってなんでしょうか?

「x(log x) 2」ってどんな関数なんでしょうか?

F(x) の式に出てくる「X」と「x」とにはどのような関係があるんでしょうか?