0 ≦θ ≦πのとき cos(2θ+π/3)=cosθはどのように解きますか？

0 ≦θ ≦πのとき
cos(2θ+π/3)=cosθはどのように解きますか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/29 17:11

0≦θ≦π

cos(2θ+π/3)=cosθ
cos(2θ+π/3)-cosθ=0
-2sin((3θ+π/3)/2)sin((θ+π/3)/2)=0
sin(3θ/2+π/6)sin(θ/2+π/6)=0
π/6≦θ/2+π/6≦π/2+π/6=2π/3
sin(θ/2+π/6)>0だから
sin(3θ/2+π/6)=0
π/6≦3θ/2+π/6≦3π/2+π/6=5π/3
3θ/2+π/6=π
9θ+π=6π
9θ=5π
∴
θ=5π/9

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/28 19:22

やり方は山ほどあるが...

cosA = cosB ⇔ A = ±B+2πn, nは整数 を使って
cos を含まない式にする方法が簡単かと思う。

cos(2θ+π/3) = cosθ
⇔ 2θ+π/3 = ±θ+2πn, nは整数
となるから、ふたつの一次方程式を解くと
θ = -π/3 + 2πn　←[1]
または θ = -π/9 + (2/3)πn.　←[2]

[1] の解が 0 ≦θ ≦π となることはない。
[2] の解が 0 ≦θ ≦π となるのは、
n = 1 のときで θ = (5/9)π.

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/28 19:20

とりあえずグラフを描く。