
No.9ベストアンサー
- 回答日時:
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
を解けばよいわけですね。
x=1が解の一つであることはすぐ分かりますね。
あとは
x^4+x^3+x^2+x+1=0
を解けばよいわけですが、少し工夫が必要です。
まずx=0は解ではありませんから、両辺をx^2で割ることができます。
x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)=0 ・・・(1)
となります。
ここで、
t=x+x^(-1) ・・・(2)
とおくと、
x^2+x^(-2)=t^2-2
ですから、(1)は
(t^2-2)+t+1=0 すなわち、
t^2+t-1=0
と書き直すことができます。
二次方程式ですからすぐ解けますね。
出てきた解を(2)に当てはめればxの解が求まります。
あまりすっきりした形にならないので計算は少々大変ですが、
頑張って下さい。
この回答へのお礼
お礼日時:2001/09/13 08:40
ご返答有り難うございました。
この次にあった問題の応用に貴方の解答がちょうど使えました。
次に、回答して頂ける機会がありましたら宜しくお願いします。
No.8
- 回答日時:
>一応、知ってます。
補足ありがとうございます。
まず、念のための前置きですが任意の複素数は極表示で
z = r(cosθ+isinθ)
と書くことが出来ます。このとき、例えば z^2 は
z^2 = r^2(cosθ+isinθ)^2
= r^2{(cos^2θ-sin^2θ)+i(2sinθcosθ)}
= r^2(cos2θ+isin2θ)
となります。
一般に z = r(cosθ+isinθ) のとき z^n は
z^n = r^n{cos(nθ)+isin(nθ)}
となることがわかります。(de Moivreの公式ですね。)
この数式を複素平面上で考えてみると
絶対値1の複素数 cosθ+isinθ を掛けることは角度θの回転を意味します。
すると、α^5=1を満たすαは5回 回転して複素平面上で点(1,0)に
戻ってくることになります。
まず、
r^5{cos(5θ)+isin(5θ)}=1
の両辺絶対値をとると r=1 であることがわかります。
すると、
cos(5θ)+isin(5θ)=1
となりますが、5θ=2nπ のときにこの式は満たされます。
0≦θ<2π とすると n=0,1,2,3,4 となります。
つまり、θは
θ = 0,2π/5,4π/5,6π/5,8π/5
の5つです。これらが1の5乗根になっています。
a = cos(2π/5)+isin(2π/5)
とすると、因数分解の結果は
(x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
となります。
この回答への補足
二回にわたる書き込み有り難うございました。
πをつかえる方法は、まだなれないせいか気づきませんでした。
つきの機会がありましたら宜しくお願いします。
No.6
- 回答日時:
因数分解でなく極形式にしてまず、解を求めました。
極形式 z=r(cosx+isinx) r>0 (角はxにしちゃいました)
z^5=1より r^5*(cosx+isinx)^5=1
r=1 (cosx+isinx)^5=1
ド・モアブルの定理より(とても重要な定理)
(cosx+isinx)^5=1
cos5x+isin5x=1
両辺の複素数の実部と虚部を比較して
cos5x=1,sin5x=0
5x=360*n nは整数
x=72*n
単位円を0度から5等分した角になる。0から360では
0、72、144、216、288なので
答えは
x1=cos0+isin0=1
x2=cos72+isin72
x3=cos144+isin144
x4=cos216+isin216
x5=cos288+isin288
の5つになります。
No.5
- 回答日時:
因数分解というやり方は
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
までしか思い付かないのではないでしょうか。
複素数の極表示をご存知でしょうか?
このあたりを補足をお願いします。
もし、知っておられるなら1の5乗根ですから、
αは複素平面の単位円周上を5等分する点になるのですが、
知らない場合は少し計算が大変です。
No.3
- 回答日時:
X5乗-1=0
-1を右辺に移項して、
X5乗=1
同じ数字を5回かけて1になるのは、X=1のとき。
x(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)+5=0
これを解くと、
x(x2乗-1)(x2乗-1)+5=0
x(x2乗-1)2乗+5=0
x(x4乗-2x2乗+1)+5=0
x5乗-2x3乗+x+5=0
これを解いても、x=1にはならないので、間違っていると思います。
『x5乗の入力』とは、なんのことを指していらっしゃるのかわかりません。
質問をするときに、どう入力したらよいか、ということでしょうか?
No.2
- 回答日時:
まず、因数分解ですから、別に右辺に=0をつけることはありませんよ。
5乗は、^5なんて書き方をします。^5でも別にいいと思います。
さて、x^5-1は、x-1かx+1で割れるなら、因数分解できますよね。
試してみると、x-1で割れます。
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
右側がもうすこし進むかどうかも考えてみてください。
方程式ですが、5を右辺に持っていくと、どうやらxは負の数だということがわかる程度です。
全部展開してから因数分解しなおしますけどね、僕なら。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 x^4-2x^2+16x-15=0 という因数分解の答えが、 (X-1)(X+3)(X^2-2X+5 4 2022/05/15 16:20
- 数学 x^p-1=(x-1)(x-ζ)(x-ζ^2)・・・(x-ζ^p-1)と複素数の中で因数分解できる理 1 2022/11/23 14:59
- 数学 中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。 1問だけでも教えていただけると嬉しいです。 (1) 4 2022/08/01 10:19
- 数学 数学について因数分解高校問題 3 2022/05/04 20:19
- 数学 『因数に分解するということ』 9 2022/06/27 06:14
- 数学 数学 方程式 2 2022/12/24 21:46
- 数学 因数分解の基本 4 2022/12/26 02:48
- 数学 数学の問題です。 4 2022/05/22 22:22
- 数学 乗法公式の問題についてです。 (x-y)(2x+y)??? 2 2022/10/18 19:50
- 数学 ラグランジュの未定乗数法を用いる問題 3 2023/05/15 14:48
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
△ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
積分の問題です
-
【数学】コサインシータって何...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
この和積の公式の利用ですがcos...
-
すごく緊急です!わかる方お願...
-
どうやってグラフを書けばいい...
-
例えばCOSX=0.42323とかの場合...
-
対角線の積
-
三角関数
-
0≦x≦180°で f(x)=√3sinx+2cos...
-
至急!数学I 図形と計量
-
(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ ...
-
楕円錐の、斜め断面は、円?
-
加法定理
-
重積分を求める問題です。 cos(...
-
三角関数で、
-
数3です。 第n項が次の式で表さ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
△ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5...
-
【数学】コサインシータって何...
-
cos(2/5)πの値は?
-
加法定理の問題
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
三角関数で、
-
高校数学 三角関数
-
cos2θ−3cosθ+ 2≧0の不等式を解...
-
正十二面体の隣接面が成す角度?
-
加法定理
-
cos40°の値を求めています。
-
1/ a + bcosx (a,b>0)の 不定積...
-
楕円錐の、斜め断面は、円?
-
X5乗-1=0 の因数分解の仕方...
-
二等辺三角形においての余弦定...
-
数学の質問です。 円に内接する...
-
複素数平面の問題なのですが
おすすめ情報