三角関数と極限値の問題

三角関数と極限値の問題

『lim(x→0)xcos1/x　の極限値を求めよ』という問題の解説について質問です。

解説は以下のようになっています。

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与えられた式の絶対値を、0と|x|ではさむ形の不等式を作り、『はさみうちの原理』を使う。

0≦|cos1/x|≦1 であるから 0≦|xcos1/x|=|x||cos1/x|≦|x|

lim(x→0)|x|=0 であるから lim(x→0)|xcos1/x|=0

ゆえに lim(x→0)cos1/x=0（答）
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この中で、
＞0≦|cos1/x|≦1 であるから
というのは数学の範囲で言うとどの辺りにでてくることなのでしょうか？
もしくは何かの公式を変形させたものなのでしょうか？

質問自体が成り立っていなかったらすぐに教えて下さい。ご返答どうぞよろしくおねがいします。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/11 22:45

こんばんわ。

質問は成り立っていると思いますよ。＾＾

0≦ |cos(1/x)|≦ 1は、-1≦ cos(1/x)≦ 1と同じ意味です。
このように書けば、理解できますか？

この回答へのお礼

すみません、まだ理解できないようです。

ふたつ疑問です。

・それは-1≦ cosx ≦ 1と関連していますか？

・0≦ |cos(1/x)|≦ 1
↓
　-1≦ cos(1/x)≦ 1

cos(1/x)を絶対値記号が挟んでいないのですが、挟まなくてもよいのでしょうか？

お礼日時：2010/10/11 23:05

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/11 23:19

範囲というか、教科書の章の名前でいえば、「三角関数」です。

私の頃は 数I でしたが、今は 数2 かなぁ？

cos を定義した辺りに、値域についても書いてあったはず。
θ にどんな実数を代入しても、-1 ≦ cosθ ≦ 1 だったから、
0 ≦ |cosθ| ≦ 1。
これに θ = 1/x を代入すれば、件の式になります。

この回答へのお礼

三角関数の所をもう一度落ち着いて読み直したら見つかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/11 23:49

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/11 23:46

#1です。

#2さんが丁寧に説明してくださっていますね。

補足での質問について以下に。

＞・それは-1≦ cosx ≦ 1と関連していますか？
関連しているというか、そのままですね。
xと 1/xの違いだけです。

＞cos(1/x)を絶対値記号が挟んでいないのですが、挟まなくてもよいのでしょうか？
「絶対値」の意味はわかりますか・・・？


三角関数について、一度復習しておいた方がいいかと思います。
おそらく数IIIＣの範囲だと思いますが、これからも三角関数はよく出てきますので。

この回答への補足

＞cos(1/x)を絶対値記号が挟んでいないのですが、挟まなくてもよいのでしょうか？
「絶対値」の意味はわかりますか・・・？

えーと、「その数字の大きさそのもの」を表す、ということでいいんでしょうか…
そういえばこの問題を解いているとき何故絶対値記号を付けて計算をしていたのか曖昧なままでした。
だからそういう意味では、絶対値の意味は分かってないんだと思います…

補足日時：2010/10/11 23:57