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インテグラルcos五乗dxとインテグラルcos四乗dx
のやり方がきがつきません
どなたかわかる方
教えてください早めが有難いです

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

∫cos^5(x)dx=∫cos^4(x)*cos(x)dx


=∫(1-sin^2(x))^2*(sin(x))'dx
=∫(1-2sin^2(x)+sin^4(x))*(sin(x))'dx
=sin(x)-(2/3)sin^3(x)+(1/5)sin^5(x)+C

∫cos^4(x)dx=∫((1+cos(2x))/2)^2 dx
=(1/4)∫(1+2cos(2x)+cos^2(2x))dx
=(1/4){∫(1+2cos(2x)+(1+cos(4x))/2 dx}
=(1/4){∫((3/2)+2cos(2x)+(1/2)cos(4x))dx}
=(1/4){(3/2)x+sin(2x)+(1/8)sin(4x)}+C
=(3/8)x+(1/4)sin(2x)+(1/32)sin(4x)+C

三角関数の積分結果は、三角関数の変形が色々存在するので
答えの表現は一通りではありません。
なので教科書や参考書の模範解答の答えと一致しないから間違っている訳ではないです。答えの式を変形して定数分違うことがあっても定数は積分定数に含めることができるので問題ありません(三角関数に限ったことではないですが…)。
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インテグラルcos奇数乗dxは簡単です。

以下、cosをc、sinをsとかきます。

c^(2n+1)=(c^2)^n*c=(1-s^2)^n*c=(sの関数)*s'

なので、「合成関数の微分の逆」でできます。

例えば (s^3-2s+1)'=(3s^2-2)*s'=(3s^2-2)*c → ∫{(3s^2-2)*c}dx=s^3-2s+1+定数 のように。

もちろん sin(x) = t → cos(x)・d x = dt と置換してもできます。
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cosN乗をcosk倍角の形の和に書き直せば出来ます。



例えば

(cos(x))^2=1/2 (cos(2x) +1)

(cos(x))^3=1/4 (cos(3x) +3 cos(x))

(cos(x))^4=1/8 (cos(4x) +4 cos(2x) +3)

(cos(x))^5=1/16 (cos(5x) +5 cos(3x) +10 cos(x))

なので、

∫(cos(x))^4 dx
=1/8 (∫cos(4x) dx +4∫cos(2x) dx +3∫1 dx)
=1/8 (1/4 sin(4x) +2 sin(2x) +3x) +(定数)
=1/32 sin(4x) +1/4 sin(2x) +3x/8 +(定数)

∫(cos(x))^5 dx
=1/16 (∫cos(5x) dx +5∫cos(3x) dx +10∫cos(x) dx)
=1/16 (1/5 sin(5x) +5/3 sin(3x) +10 sin(x)) +(定数)
=1/80 sin(5x) +5/48 sin(3x) +5/8 sin(x) +(定数)

のように計算出来ます。
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