lim[x→0] (sinx)^2 / (1-cosx) ❶ロピタルの定理 ❷(sinx)^2 、1

lim[x→0] (sinx)^2 / (1-cosx)
❶ロピタルの定理
❷(sinx)^2 、1-cosxの漸近展開
❸三角関数の計算のみで

❶❷❸それぞれの方法で極限を求めて頂きたいです。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/07/31 17:13

❶ロピタルの定理

lim[x→0] (sinx)^2 / (1-cosx)＝0/0なのでlim[x→0] (sinx)^2 / (1-cosx)＝lim[x→0] ２(sinx)(cosx) / (sinx)
lim[x→0] ２(cosx) =2
❷(sinx)^2 、1-cosxの漸近展開
(sinx)^2=1/2-1/2∑[0-∞](-2)^nx^(2n-2)/(2n-1)!
1-cosx=1-∑[0-∞](-1)^nx^(2n-2)/(2n-1)!
[x→0](sinx)^2/(1-cosx)=2
❸三角関数の計算のみで
(sinx)^2 / (1-cosx)=(1-(cosx)^2)/(1-cosx)=1+cosx [x→0]1+cosx =2

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/07/31 16:57

②は面倒なので割愛。

①
2sin(x)cos(x)/sin(x) = 2cos(x) →2（x→0）

③
sin²(x)/(1-cos(x))=(1-cos²(x))/(1-cos(x))=1+cos(x)→2（x→0）