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eの2πi乗は1になってしまうんですが。

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  • 質問者：noname#96505
  • 質問日時：
  • 回答数：6件

オイラーの公式からθ=2πと代入するとeの2πi乗は1となってどうも矛盾が生じてしまうんですが。本来eの0乗が1と定義したので、もしも仮にeの2πi乗は1であると仮定すれば2πi=0となっておかしいことになるのですが、お分かりになれば深く教えてください。

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A 回答 (6件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： kashimezai
  • 回答日時：

e^z=1という方程式を複素数上で解くと、z=2nπi(nは整数)となります。


従ってz=0もz=2πiも正しい解となります。
x^2=1の解がx=±1だから-1=1だと言っているようなものです。
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No.6

  • 回答者： SortaNerd
  • 回答日時：

eの実数乗とeの複素数乗がごっちゃになっているようですね。


単調増加(あるいは減少)なのは実数軸方向です。虚数軸方向では周期2πの周期関数になります。
eの実数乗のグラフに螺旋を90°ずらして合わせたようなグラフになります。
以下にそのグラフがあります。本来4次元ないと書き表せないものを2つの3次元グラフに分けて描いてあるので理解するのが難しいと思います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0% …
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No.5

  • 回答者： zk43
  • 回答日時：

e^zは複素関数としては、虚軸に平行な方向に2πの周期を持つ


周期関数です。
z=x+iyと実部xと虚部yを用いてzを表すと、
e^z=e^(x+iy)=e^x・e^iy=e^x（cosy+isiny）
となって、yをy+2nπにしてもcos、sinは周期2πの周期関数だから、
値は同じです。
xが一定、yが一定の直線の指数関数による像を、複素平面に描いてみる
と良いと思います。
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No.4

  • 回答者： k_yuu01
  • 回答日時：

なかなか面白い考え方ですね



では
cos(0π)=1
cos(2π)=1
cos(4π)=1
…

だから
０π＝２π＝４π＝・・・・
となのでしょうか？

もちろん違いますね。三角関数は引数（cos○の○部分）の値を読み取り、ある値を返すというものです。（cosで、引数がπだったら-１を返す。みたいな）。ご存知のように三角関数は２πで一周するので、あたかも上に示したような０π＝２π＝４π＝・・・・という不可解な関係が導けてしまうのです（もちろんこの等式は成り立ちませんよ）。

つまり、質問者さんが疑問に思われている矛盾を解決する一言は
「一周してるから」
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No.3

  • 回答者： info22
  • 回答日時：

> オイラーの公式からθ=2πと代入するとeの2πi乗は1となってどうも矛盾が生じてしまうんですが。


ぜんぜん矛盾していません。
勘違いしていませんか？
e^(2πi)=cos(2π)+i sin(2π)
= 1 + i 0
= 1
複素平面で単位円を描いたらe^(i2π)=1となることは明らかです。
|e^(i2π)|=1

いずれにしても
> eの2πi乗は1であると仮定すれば2πi=0となっておかしいことになるのですが、
あなたがいかにいい加減に複素数の勉強をしているか、露呈しているだけに過ぎません。
「cos(2nπ)=cos(0)」→「2nπ=0」と結論付けていることと変わらないです。
e^x=1=e^0ならx=0といえるのはxが実数の範囲です。
e^(i2nπ)(nは0でない整数とする)
これが
e^0=1に等しいからといって
i2nπ=0
とはいえません。
頭をよく冷やして、
複素数の勉強の復習をやり直して見られることを強くお勧めします。
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No.2

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

つまり, 1^0 = 1 かつ 1^1 = 1 より 1 = 0 と主張している?

この回答への補足

eのx乗はxについて単調増加なので１になるというのはただ１つしか
存在しないとおもったので。

補足日時：2008/08/05 08:25
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Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

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hx + ky + lz = -a　　(2b)
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参考ページ：
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http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト　第３章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL：http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
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・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
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参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
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・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
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正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
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同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e＾-(2a＾2)}
だから、
x:0→a
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＜√{(π/4){1-e＾-(2a＾2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
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∫[0→∞]e＾-(x＾2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
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∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
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が成り立つことは簡単に示せるのですが、
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Aベストアンサー

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がｅの定義なので、（t→＋0でもt→-0でもＯＫ）
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、ｔ→-0なので、
（与式）＝lim(1+t)^(-1/t)　　　〔t→-0〕

これを変形すると、
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＝e^-1
＝1/e

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　まず、実数の範囲で考えてみます。

　y=e^xであるなら、x=log(y)なわけですが、log(-1)を考えるなら、-1=e^xとなるxは何かになります。実数で考えるなら、e^x>0ですから、解としてありません。

　さらに、1=e^xはx=0で成り立ちます。では、両辺を2乗してみます。1^2=e^(2x)、ここまではいいでしょう。

　1^2=(-1)^2から、(-1)^2=e^(2x)としても問題ありません。

　では、その両辺のルートを『単純に』取ってみましょう。-1=e^xが成り立つことになります。これを満たす実数xはないのでした。さらに、そもそもx=0だったのでした。

　これでは矛盾です。数学として成り立ちません。ならば、導出に問題があるはずです。

　実数を2乗してルートを取ったとき、正負の両方が許される保証はあったでしょうか。ない例はすぐに思いつきます。

　1=1, (-1)^2=1 ∴(-1)^2=1, しかし√{(-1)^2}=-1でもよいとすると、1=-1となり矛盾するから、√{(-1)^2}≠-1でなければならない。

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　お示しの式変形の中では「log(-1)^2=2log(-1)」が、そう拡張していいかどうかを検討せずに使っています。2乗してルートを取ったときと、同様であるわけですね。

　そこが間違いで、そうするためには、対数関数（ひいては指数関数）の計算規則を正しく拡張しておかなければならなかったわけです（その正しい結果の一つが、言及されておられるオイラーの定理）。

　底がeの対数log(x)は、指数関数e^xの逆関数として定義されています（eは1以外のどんな実数でもいいのですが、記号だけの問題ともいえるので、とりあえずeにしておきます）。

　まず、実数の範囲で考えてみます。

　y=e^xであるなら、x=log(y)なわけですが、log(-1)を考えるなら、-1=e^xとなるxは何かになります。実数で考えるなら、e^x>0ですから、解としてありません。

　さらに、1=e^xはx=0で成り立ちます。では、両辺を2乗してみます。1^2=e^(2x)、ここまではいいでしょう。

　1^2=(-1)^2から、(-1)^2=e^...続きを読む

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