統計学が分かりません！詳しい解説と回答を教えてくださる方お願いいします！

今、ある市の市民の平均年収が３００万かどうかを標本数n=100の標本を抽出することで検定することを考えている。母分散は２５であることは知られている。この検定に関する以下の問題に答えなさい データは正規分布に従うとする。

➀帰無仮説と対立仮説を示しなさい
②平均年収をX ̅、標本数をn、母分散をσ2 とした場合、検定に用いられる統計量はどうなるか。式で表しなさい。
③帰無仮説が正しいとき、②で示した統計量はどういう分布に従うか
④有意水準５％のとき、棄却域はどうなるか
⑤今標本抽出の結果、標本における平均年収X ̅は295になった。実際の統計量の値はいくらになるか
⑥帰無仮説は棄却されるか、採択されるか、結論づけなさい

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/08/23 15:04

ここも訂正が必要。

これも、標準偏差が25だと思っていたことによる間違い。（普通、年収の標準偏差が5万円だとは思わないっす。）

⑤実際の検定統計量
(295 － 300)／(√25 ／√100)＝－5／0.5＝－10

とんでもなく有意だな。たった５万円の差なのに・・・。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/08/23 14:59

間違い訂正。

σ^2は母分散ですね。σ２なんて書いているから、下付きの添え字でてっきり標準偏差かと思いましたよ。

②検定統計量・・・母分散既知の平均値の差の検定
uo＝(μo ー μ)／(σ／√n)
これを指定文字に替えると、
uo＝(X_bar － μ)／(σ／√n)　・・・・ここを訂正しました。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/08/23 09:25

文句だけ言っているのも何だから、出題者が何を考えたか、を書きますね。

①検定仮説
H0：μo＝μ（μ＝300）・・・添え字はoオー、observation
H1：μo≠μ

②検定統計量・・・母分散既知の平均値の差の検定
uo＝(μo ー μ)／(σ／√n)
これを指定文字に替えると、
uo＝(X_bar － μ)／(σ2／√n)

何をやっているかというと、今回得られたサンプルは、μ＝300の母集団から得られたサンプルかどうかを調べるべく、平均値の差を見ています。

③検定統計量が従う分布
母分散既知だから正規分布：uo ～ N(0，1^2)

④棄却域
±1.96 の外側（両側検定）

⑤実際の検定統計量
(295 － 300)／(25 ／√100)＝－5／2.5＝－2

⑥検定結果
帰無仮説は棄却される。
「平均年収は300万円だとは言えない」

レポートはこう書いても良いけど、もし棄却されなかったとき「平均年収は300万円だ」と結論付けるのは間違い、と覚えておいて下さいね。
棄却されなかったときは「平均年収は300万円でないとは言えない」が正しい結論になります。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/08/23 06:04

出題者に対し、もう一言、苦情を言わせて下さい。

標本数は100も用いるべきではありません。
σμ＝σ／√n なので、標本数が多いと「些細な差でも有意」という現象が起きます。

この場合は「効果量併記」が求められます。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/08/23 05:55

平均年収が300万円を下回るか、とか上回るか、という検定はできるけど、300万かどうか、は「同等性の検定」という方法が必要です。

今の設問の設定では、「300万円かどうか」という検定はできません。

本問のような通常の検定で、帰無仮説が棄却されない時の結論は、「差があるとは言えない」というだけで、「差が無かった＝300万円だった」という肯定的な結論は出せません。

それは、第二種の過誤について、全く検討していないからです。

統計を学んだことが無い教師が統計を教えると、こういう弊害が出てくるという、良い見本です。