統計学の質問【帰無仮説】 W大学のP学部において、自宅通学者の比率にについて調べたい。 P学部から1

統計学の質問【帰無仮説】

W大学のP学部において、自宅通学者の比率にについて調べたい。
P学部から100人の在籍者を無作為に選んで尋ねたところ、選ばれた学生の80人が自宅通学者であると回答した。これについて以下の問いに答えなさい。
選択肢の中からもっとも適切なものをひとつ選ぶこと。

P学部の全在籍者の自宅通学者の比率が0.85であるという帰無仮説を、0.85ではないという対立仮説に対して有意水準0.05で両側検定し、その結果を選択肢から選びなさい。
ヒント：母集団比率に関する検定の場合、分散は標本比率から推定できます（講義内容を確認してください）。母平均に関する検定の場合、データの全部ないし標本分散の値が問題文に記されています。

①帰無仮説は棄却される。
②帰無仮説は棄却されない。
③帰無仮説を棄却することも、しないこともできない。

答えは何ですか。
理由も教えてください。

私は②棄却されない だと考えました。

No.4 ベストアンサー 回答者： qas2021 回答日時： 2023/05/26 05:54

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13475278.html
の問題の答えは「①棄却される」です。

標本平均は、帰無仮説のもとでは N(60, 2) に従います。

No.8 回答者： qas2021 回答日時： 2023/05/27 08:22

No.6の訂正

> Xbar = 64 での対数尤度比は0なので、K以下。
K以下ではなく、K未満でした。

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/27 00:26

私が間違っていました。

帰無仮説の下では、ということですね。

No.6 回答者： qas2021 回答日時： 2023/05/26 20:40

No.4 にも記載したとおり、帰無仮説のもとでは標本平均 Xbarは N(60, 2) に従います。

従って、
P((Xbar - 60)/√2 > 1.645) = 0.05
⇔
P(Xbar > 60 + 1.645√2) = 0.05
より
60 + 1.645√2 = (K - 256)/(-4)
∴ K = -4×(60 + 1.645√2) + 256 ≒ 6.694
（対数尤度比の閾値は K と表記しました）

Xbar = 64 での対数尤度比は0なので、K以下。
よって、帰無仮説は棄却されます。


ついでに記載すると、この質問での問題文には

> ヒント：母集団比率に関する検定の場合、分散は標本比率から推定できます（講義内容を確認してください）。

と記載されていますが、帰無仮説のもとでは、母比率が0.85であることがわかっているので、棄却限界は
0.85 ± 1.96√{0.85×(1 - 0.85)/100}
で計算すべきです。
これは、0.78, 0.92であり、標本比率0.80はこれらの数値の区間内にあるので、帰無仮説は棄却されません。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/26 08:48

前問の件、

gas2021さんのご指摘は、尤度比検定（対立仮説が等号で与えられたケース）に沿ったものか不明ですが、
私、まだどこかで計算間違いしていますかね。
検算をして、確認して下さいませ。

式の導出結果は、松嶋先生の本と照らして、間違いは無かったですが、代入計算でミスしているかも。

ただ、標本はちょうど両仮説の中点にあるので、棄却されないとしても、大きな過誤が生じるとは思えません。こんなどっちつかずのケースは棄却しないというのが、ネイマンピアソン流だと思います。

もし、間違っていたら、本当にすみません。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/26 02:49

前問の件

＞答えは「棄却されない」になるということでしょうか？

はい。観測値の対数尤度比０は、検定の閾値ー9.28より大きいですので、帰無仮説は棄却されません。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/26 02:14

本問は、自宅通学者か、そうでないか、の二項分布と考えれば、

二項分布の平均はnp、分散はnp(1-p)ですので、
これを用いて正規分布近似をするのが一般的です。

ただし、注意点は、二項分布のpは0～1までの範囲しか取りませんが、正規分布はその外側まですそ野を引く分布です。ですから、5％以下とか95％以上の箇所では乖離が大きく使い物にならないのです。

そのため、製造現場の不良率などは、ロジット変換や逆正弦変換を行います。QC検定に出題されるくらいです。

実は二項検定は、Rでやると、10種類近くの近似方法の結果が表示されます。

さて、本ケースは、通常の正規分布近似で良いので、
分散16の正規分布で近似し、その95％信頼限界を求めます。

H0；p＝0.85
H1；p≠0.85（両側検定）
α＝0.05

観測値が信頼区間の範囲内であれば、帰無仮説が保留され、範囲外であれば棄却されます。

信頼限界は、85±1.96×√16＝77.16，92.84
現在の観測値80はこの範囲内であるので、帰無仮説は棄却されません。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/26 01:36

nnn__ty_様

先回のご質問への回答で、重大な計算ミスをしておりました。
訂正版を添付します。
間違えた箇所は、分母の符号です。
そのため、検定の閾値が違ってきて、結論も違ってきます。
本当にすみませんでした。

この回答へのお礼

kamiyasiro 様
ご返信ありがとうございます。
私も「棄却される」だと思っていましたが、
答えは「棄却されない」になるということでしょうか？

お礼日時：2023/05/26 02:02