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極値をもつ時と持たない時、単調増加と単調減少の条件を自分なりにまとめてみたのですが、これはあっていますか???

数Ⅱです。

「極値をもつ時と持たない時、単調増加と単調」の質問画像

A 回答 (1件)

3次関数限定の話ですね!(関数には4次関数や、正弦関数(sinの関数)指数関数、対数関数などなどがあるので、あなたのまとめたことは、これらには通用しないです)


3次関数に限定すれば上2つはOKです

単調増加と単調減少については少し補足しておきます
そもそも、f'(x)>0の区間を単調増加と言い、f'(x)<0の区間は単調減少です
そしてf'(x)=0の区間は定数と呼びます
ただ3次関数ではf'(x)=0となる区間が存在する場合でもその区間は1点(一瞬)ですから、
(3次関数に限定すれば)3次関数が(常に)増加関数である条件は常にf'(x)≧0であることです
従って、常にf'(x)≧0が言えれば(f'(x)≧0であることが分かれば)f’の判別式Dは意識する必要なしです
ただ、f'(x)≧0となるかどうかは分からないという場合はDを利用することも有ります
・f'(x)の2次の係数がマイナスとわかった場合
f'(x)には必ずマイナスとなる部分があるので、3次関数は(常には)増加関数とはなりません(このときDは考えるまでもなく、増加関数ではないことが分かります)
・f'(x)の2次の係数がプラスとわかった場合
f'(x)にマイナスとなる部分がなければ3次関数は(常に)増加関数となるので、
このことをはっきりさせるためにDを考えるも1つの作戦です。
この場合D≦0ならばf'(x)にマイナスとなる部分がないことになるので、
f'(x)の2次の係数がプラスでD≦0なら、3次関数は増加関数 と言えます
このように、「f’の2次の係数がプラス」で「D≦0」というのがセットです

常に減少関数についても同様です。
3次関数が(常に)減少関数である条件は常にf'(x)≦0
(常にf'(x)≦0であることが分かった場合はf’の判別式Dを意識する必要なし)
f'(x)の2次の係数がマイナスでD≦0なら、3次関数は減少関数 
というように、2次の係数がマイナスでD≦0というのがセットです(画像4つめはD≧0となっているので誤り!)

3次関数の単調増加・減少の要点は、あくまでも「常にf'(x)≧0」・「常にf'(x)≦0」ということですから
Dを考えるケースは多くないと思います
考えるケースでは、「常にf'(x)≧0」・「常にf'(x)≦0」を明確にするための道具がDだと思ってください
f'(x)はxの2次関数になりますから、そのグラフは縦軸がf'(x)、横軸がxの放物線グラフです
ですから2次の係数の正負から、放物線グラフの凹凸の向きを把握して、
f'(x)が常にx軸より上になる⇔f'(x)≧0・・・常に単調増加
f'(x)が常にx軸より下になる⇔f'(x)≦0・・・常に単調減少
となる条件をつかむ一助としてDを利用することです(2次関数のグラフを意識しながら考えましょう)
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この回答へのお礼

こんなにも詳しくありがとうございます!!
学校の先生に聞いても塾の先生に聞いても何言ってるか全く分からなかったのですがやっとわかりました!!!
ちゃんと問題から考えたら間違えることないと思うので、教えて頂いたとおりにします!
何回もこの回答を見させて頂いて、テストで満点めざします、!ありがとうございます!

お礼日時:2019/09/29 21:02

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