A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
(a,0)から曲線y=x^3-xへ異なる3本の接線が引けるような実数aの値を求めよ
というのだから
y=f(x)=x^3-xとおく。これを微分して,
f'(x)=3x^2-1
点(t,f(t))における曲線y=f(x)の接線の方程式は
y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t
y=(3t^2-1)x-2t^3…①
直線①が点(a,0)を通るとき,
0=(3t^2-1)a-2t^3
2t^3-3at^2+a=0…②
②のtの3次方程式が,相異なる3実数解
t1,t2,t3
をもつとき
(a,0)から(t1,f(t1))への接線
y=(3t1^2-1)x-2t1^3
(a,0)から(t2,f(t2))への接線
y=(3t2^2-1)x-2t2^3
(a,0)から(t3,f(t3))への接線
y=(3t3^2-1)x-2t3^3
の
(a,0)から曲線y=x^3-xへの3本の接線が引ける
No.1
- 回答日時:
ご質問ありがとうございます。
3実数解を持つと接点が三本引けるのは、次のような理由です。- 3次関数の接線の方程式は、接点のx座標をtとすると、y = f'(t)(x - t) + f(t) となります。
- この方程式が与えられた点を通るためには、x = 1, y = -2 を代入して、f'(t)(1 - t) + f(t) + 2 = 0 というtに関する方程式が成り立つ必要があります。
- この方程式は3次方程式であり、その解の個数は接点の個数に等しくなります。
- よって、この方程式が3つの異なる実数解を持つとき、接線が3本引けることになります。
詳しくは、以下のサイトをご覧ください。
ソース: Bing との会話 2023/8/9
(1) 微分法|接線の本数と方程式の解の個数の関係|数学Ⅱ|定期 .... https://benesse.jp/teikitest/kou/math/math2/k003 …
(2) 三次関数の接線の本数についての美しい定理 | 高校数学の .... https://manabitimes.jp/math/1007.
(3) 【高校数学Ⅱ】3次関数に引ける接線の本数① 基本と裏技 | 受験 .... https://examist.jp/mathematics/differential/sess …
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