No.4ベストアンサー
- 回答日時:
a≠0とします。
相ことなる実数の3乗根b、cがあったとする。(b,c≠0)
b^3=c^3(=a)
b^3-c^3=0
∴(b-c)(b^2+bc+c^2)=0
b≠cなので b^2+bc+c^2=0
解の公式でb=(-c±(√3)*(|c|i))/2
c≠0なので、±のどちらをとるかに関わらずbは虚数。
これは「b、cが実数」と矛盾する。よって実数根は高々1個。つまり少なくとも2個は虚数根。
あとはp、qを実数(q≠0)としてp+qiが根とするとp-qiも根になることを示し(簡単なので省略)、これら2根を解とする2次方程式x^2-2px+p^2+q^2=0の左辺(係数は全て実数)でx^3-aが割り切れることから商の係数も実数。よって残りの根も実数。
以上から実数根はただ1個存在する。
というのはどうでしょう。#1さんのを詳しく言っただけという気もしますが。
No.3
- 回答日時:
まず、「複素数 b+ic が a の三乗根ならば、その共役 b-ic も a の三乗根である」が示せます。
そうすると、x^3 = a の複素解は 0 個 または 2個です。それぞれの場合、実数解は 3個 または 1個 です。一方、a の三乗根の絶対値は全て等しいですから、異なる実数解は高々2個です。
以上より実数解は1個、というのはいかがでしょうか。
No.2
- 回答日時:
異なる実数A,Bを用意します。
実数には大小関係がありますね。
それゆえに、AとBが異なることから B>A がわかります。ですから
B=A+ε
と書き直すことが出来ます。
さてここで、AもBも aの3乗根 であったならば?
No.1
- 回答日時:
実数解の存在を仮定していいなら、他の 2根が虚数であることを示せばよいだろう。
これは 1 の 3乗根が 1, ω, ω^2 で ω = (-1 + √(-3))/2 は虚数から容易だ。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 8 x^3 - 6 x + 1 3 2022/11/22 16:55
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- Ruby プログラミングについてです。教えていただきたいです。 実行例のように、整数xが1から12までにつき、 2 2022/12/19 22:47
- 数学 回答の意味について 4 2023/07/11 11:19
- Excel(エクセル) <スプレッドシート>採用進捗 グラフ作成について 3 2022/10/23 15:52
- 物理学 物理の証明問題についての質問です。 平面内を運動する小球がある。この物体にかかる加速度の方向と大きさ 2 2023/05/16 00:28
- ガーデニング・家庭菜園 桜について 6 2022/04/22 17:19
- 数学 m, n を整数. g.c.d(m, n) = d, l.c.m(m, n) = l とすると { 2 2022/05/22 18:54
- 数学 大学積分を電卓で出せグラフも表示できるサイトがあったはずなのですが、忘れてしまいました。 2 2022/04/03 06:07
- 数学 『◯と●の帰納法』 2 2023/04/19 20:57
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
小学生の時(40年前)に、18÷...
-
求伏見稻荷大社和難波八阪神社...
-
高1の数学でこんな感じに解の公...
-
2次方程式x²+px+q=0の2つの異な...
-
二次方程式の虚数解と複素数の...
-
なぜ「異なる2つの実数解」と書...
-
共通解の問題についてです。こ...
-
二次方程式の解の書き方
-
なんでx軸と接しているところが...
-
2次方程式でX^2-3x+2k=0 が...
-
3次と2次の方程式の共通解
-
対称行列同士の積は対称行列?
-
【数Ⅰ】次の2次方程式が重解を...
-
方程式の問題です。
-
a又はb及びc
-
判別式はyにおいても使えますか...
-
Excelで3次方程式を解く方法
-
2次不等式X^2+MX+M<0が実数...
-
たすきがけと解の公式の答えが...
-
異なる4つの解
おすすめ情報