数学I

二次方程式4x^2-2mx+n=0の2解がともに0<x<1に含まれるような自然数m、nをもとめよ
解説お願いします。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/09 13:42

とりあえず、二次方程式 4x^2-2mx+n=0 が解を2つ持たないと

「2解がともに」とはならないし、「0<x<1」なら実数解ですから、
4x^2-2mx+n=0 が2つの実数解を持つ条件 D = m^2 - 4n > 0
が必要条件ですね。

この条件の下に、二次方程式の２つの解は x = (m ± √D)/4 であり、
(m - √D)/4 < (m + √D)/4 が成り立ちますから、
「2解がともに0<x<1に含まれる」条件は
D > 0 かつ 0 < (m - √D)/4 かつ (m + √D)/4 < 1 です。　…①
こちらは、問題の必要十分条件になっています。

不等式を解いて m,n を求めましょう。
①は D > 0 かつ √D < m かつ √D < 4 - m と変形でき、
D > 0 かつ m≧0 かつ D < m^2 かつ 4-m≧0 かつ D < (4 - m)^2 とも同値です。
D = m^2 - 4n を代入すると
8m - 16 < 4n < m^2 かつ 0 < 4n かつ かつ 0 ≦ m ≦ 4 と整理できます。

n が自然数なので 0 < 4n は自明であり、
m の候補は 0, 1, 2, 3, 4 です。
これらの m に対して、
m = 0 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす n は無い。
m = 1 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす自然数 n は無い。
m = 2 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす自然数 n は 無い。
m = 3 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす自然数 n は 無い。
m = 4 のとき 8m - 16 < 4n < m^2 を満たす n は無い。
ので、答えは「そのような m,n は存在しない」になります。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 13:03

No.2 です。

問題文の「2解がともに0<x<1に含まれるような」を「異なる２解」と解釈するか、「重解も含めて2解と呼ぶ」と解釈するかで答が変わりますね。

#3 さんの答は「重解も含めて2解と呼ぶ」とする解釈ですね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/09 11:13

f(x)=4x^2-2mx+n=0

の2解を0<α<1,0<β<1とすると
4x^2-2mx+n
=4(x-α)(x-β)
=4x^2-4(α+β)x+4αβ

m=2(α+β)<4
1≦m≦3
n=4αβ<4
1≦n≦3

D/4=m^2-4n≧0
4n≦m^2
4n≦9
n≦9/4=2+1/4
n≦2
4≦m^2
2≦m

f(1)=4-2m+n>0
2m-4<n
2m-3≦n
2m-3≦2
2m≦5
m≦5/2=2+1/2
m≦2
∴
m=2
4n≦4
n≦1
∴
n=1
m=2

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 11:10

No.1 です。

どうやら、二次方程式の解と、二次曲線のグラフの「交点」や「頂点の位置」の関係を勉強しているところのようですね。

お示しの問題も、
　y = 4x^2 - 2mx + n
という二次曲線（放物線）と
　y = 0
つまり「x 軸」との「交点」を求める問題です。

ここでの問題は
　y = 4x^2 - 2mx + n
というグラフが
・x 軸と 0<x<1 の範囲で交わる
という条件ですね。

これを「平方完成」すれば
　y = 4(x - m/4)^2 - (1/4)m^2 + n
つまり、頂点の座標は
　(m/4, -(1/4)m^2 + n)
なので、「x 軸と２点で交わる」ためには「頂点の y 座標が負」であればよいことが分かります。
その
　-(1/4)m^2 + n < 0
という条件が、正負をひっくり返せば
　(1/4)m^2 - n > 0
16倍すれば
　4m^2 - 16n > 0
となって「判別式 D>0」だということが分かりますか？

そして、x 軸と 0<x<1 の範囲で交わるということは、「下に凸」の方無州線なので
・軸（頂点の x 座標）は 0 < m/4 < 1 の範囲にある
・x=0, 1 のとき y>0 である
ということも分かりますね。

こういった条件から、m, n の満たす範囲が決まります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/08 23:06

宿題は自分でやりましょう。

「何がわからないのか」という質問なら答えられます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
これでm,nの求め方以外に分からないところがあると思われたんですか？もう少し説明を付け加えた文をつくってきます。あと勉強をした上、問題集の解説を見た上で理解できなかったという説明が抜けていましたね。申し訳ありません。

お礼日時：2024/04/09 02:29