数学IIの問題です。答えと解説をお願いします。 3次方程式x^3-(a + 1)x^2+ 2ax +

数学IIの問題です。答えと解説をお願いします。
3次方程式x^3-(a + 1)x^2+ 2ax + b=0(a, bは実数の定数) .. . ①はx=1を解にもつ。
(1) bをaを用いて表せ。
(2) ①が虚数解をもつとき, aのとり得る値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき, ①の虚数解をα, βとする。方程式x^2+ cx + 4a^2-a-6=0の2つの解がα+β, α^2β^2であるとき,定数cの値を求めよ.

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/20 22:40

(1) x=1を解にもつのだから、x=1 を代入して

　1 - (a + 1) + 2a + b = 0
→　a + b = 0
よって
　b = -a

（別解）
x=1を解にもつのだから
　x^3-(a + 1)x^2+ 2ax + b = (x - 1)(x^2 ････)
と書ける。

二乗の項を
　x^2 + cx + d
とおいて
　 (x - 1)(x^2 + cx + d)
= x^3 + (c - 1)x^2 + (d - c)x - d
と元の式を比べれば
　c - 1 = -a - 1
　d - c = 2a
　-d = b
これから
　c = -a
　d = a = -b
となって
　b = -a

(2) ①が虚数解をもつとき
　x^2 -ax + a = 0
が虚数解を持つということになるので
　D = a^2 - 4a < 0
つまり
　a(a - 4) < 0
より
　0 < a < 4

(3) 解と係数の関係から
　α+β = a
　αβ = a
なので、方程式 x^2 + cx + 4a^2 - a - 6 = 0 の2つの解は
　a, a^2
ということになる。つまり
　x^2 + cx + 4a^2 - a - 6 = (x - a)(x - a^2)
と書けるということです。

右辺を展開すれば
　x^2 - (a^2 + a)x + a^3
なので
　c = - a^2 - a　　②
　4a^2 - a - 6 = a^3　→　a^3 - 4a^2 + a + 6 = 0　　③
③を因数分解して
　(a + 1)(a - 2)(a - 3) = 0
より
　a = -1, 2, 3

②に代入して
　c = 0, -6, -12

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2018/03/20 21:54

(1)

x=1を代入して整理します。

(2)
(x-1)で割って商を求めます。
その二次式について解の判別式を適用します。

(3)
(2)で使った二次式より係数と解の関係を用いてα+βとαβを求めます。
これらを使えばaとcの連立方程式が得られます。
これを解くとcが求められます。