虚数係数？の三次方程式について

(問題)aを定数とする。x=2-iが三次方程式x^3+3x^2+x+aの解であるとき、この方程式の実数解を求めよ。

という問題で、x=2+iを共約な解とおいてといたところ、解答に以下のように書いてありました。

「aが“実数の”定数である、という仮定がなされていれば、共約な複素数を用いて解くこともできる(この仮定が満たされないなら、三次方程式が実数解を持つことはないが、問題としておかしいことにはならない)」

これはつまり、
(1) 実数の係数という仮定がないなら共約な複素数を用いて解くことはできない
(2)aが実数でないなら、実数解はなしである
ということなんですか？実数解がないのに３つ解を持つことは出来るんですか？

問題は実数係数の三次方程式ばかりで、旧課程ではあまり複素数を扱わないのでちんぷんかんぷんです。教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/01 18:22

>(1) 実数の係数という仮定がないなら共約な複素数を用いて解くことはできない

>(2)aが実数でないなら、実数解はなしである
ということなんですか？
(1)も(2)もその通りです。

>実数解がないのに３つ解を持つことは出来るんですか？
その通り
zの３次式
f(z)=z^3+az^2+bz+c
のゼロ点(f(z)=0を満たすzの値)は
複素平面上にプロットすると、
f(z)=0の実数解z=pは、実軸上にプロットされます。
f(z)=0の虚数解のうち純虚数解z=q*i(iは虚数単位)は虚軸上にプロットされます。
実数解でも純虚数解でもない虚数解は、複素平面上の実軸と虚軸を除く領域にプロットされます。
ゼロ点z=p(pは実数)に対応する因数(z-p)からは実数の係数しか生じません。
ゼロ点z=p1+q1*i(p1,q1はゼロ以外の実数）に対応する因数は(z-p1-q1*i)ですが、この因数からは一般にf(z)に虚数の係数が発生させますが、共役なゼロ点z=p1-qi*iが存在する場合に限って、(z-p1+q1*i)なる因数と組み合わせることで(z-p1-q1*i)(z-p1+q1*i)=(z-p1)^2+q1^2という実数係数の２次の因数となるため、係数は実数となります。
一般には
f(z)=(z-p1-q1*i)(z-p2-q2*i)(z-p3-q3*i)
　=z^3+az^2+bz+c=0
の係数a,b,cは虚数係数つまり実数係数とならないため、実数係数ではない係数の方程式となります。

1組の共役複素数解と1つの実数解を持つ場合の３次方程式f(z)=0の係数、
３つの実数解（重解を含む）を持つ場合も３次方程式f(z)=0の係数
は全ての係数は実数、
それ以外場合は係数に虚数が含まれます。

>x^3+3x^2+x+a=0　...(※)
でaが虚数であれば、xにいかなる実数を代入しても「>x^3+3x^2+x」は実数になるので、虚数のaを加えて「=0」とすることはできません。
３次方程式が３つの解（重解を含む）をもつので、全ての実数に対して、方程式が成立しないので、実数解は存在しません。
ということは、３次方程式（※）の解は３つ全て虚数解ということになります。

この回答へのお礼

自分が複素数虚数について全く無知であることが分かり、お恥ずかしいです。でも、疑問点はすっきりしました！
複素数平面で考えるとそうなるんですね、習ったことがないのが残念なぐらい分かりやすいです。
また自分で勉強してみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/01 20:16

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2013/08/01 19:54

まず、実数係数の方程式が実数でない解x0がある場合、x0に複素共役な解(x0'とします.

以降xの複素共役はx'と記すこととします)を持つことを簡単に証明しましょう。

Σ[k:0～n]a(k)*x^k=0 a(k):全て実数 (1)
に実数でない解x0が存在したとします。
つまり
Σ[k:0～n]a(k)*x0^k=0 (2)
が成り立ちます。

(2)式の両辺の複素共役をとると
(左辺)'={Σ[k:0～n]a(k)*x0^k}'
=Σ[k:0～n]{a(k)*x0^k}'　　　←(a+b)'=a'+b'
=Σ[k:0～n]a(k)'*(x0^k)' ←(a+b)'=a'*b'
=Σ[k:0～n]a(k)*(x0)'^k ←aが実数の時a'=a,(b^k)'=b'^k 　　(*)
=0
となりx0'が(1)の方程式の解であることが示せます。

もしここでa(k)が実数でないとすれば(*)の段の変形の際a(k)'が残ったままになってしまい元の方程式と一致しなくなります。ですので実数係数という家庭がない場合は共役な複素数と解として持つとは言えません。

次に3次方程式が実数解を持たずに3解を持つことができるのか、というとそれは必ず持つ(重解を持つ場合はそれを2個,3個と数えるものとした場合)ことが分かっています。

実例として
(x-i)(x+i)(x+2i)=(x^2+1)(x+2i)=x^3+2ix^2+x=2=0
はx=i,-i,-2iの三つの複素数解を持ちます。この場合たまたまiに共役な複素数-iを解として持ちますが、-2iに共役な複素数は解となっていません。

この回答への補足

証明ありがとうございます。
実例も大変分かりやすいです、参考になります。

補足日時：2013/08/01 20:10

No.3 回答者： mnakauye 回答日時： 2013/08/01 19:39

　こんにちは。

　問題文は　　x^3+3x^2+x+a＝０　の解であるとき、　　の「＝０」が抜けているのですよね。

　　
　(問題)　aを定数とする。　x=2-iが三次方程式x^3+3x^2+x+a＝０の解であるとき、

　　　この方程式の実数解を求めよ。



　　たしかに、ａが実数かどうかがわからなければ、

　　共役複素数が解であると良い切れません。、

　　したがって、

　　α＝２－ｉ　とすれば、α＾２－４α＋５＝０　より　α＾２＝４αー５

　　これより、α＾３＝４α＾２－５α＝１１αー２０

　　αが、x^3+3x^2+x+a＝０の解であるから、代入して、

　　　１１αー２０＋３（４αー５）＋α＋ａ＝０

　　　２４αー３５＋ａ＝０　αを元の値に戻して、a=－１３+24i

　　とａは求めることができます。

　　しかし　おっしゃるように、

　　(1) 実数の係数という仮定がないなら共約な複素数を用いて解くことはできない

　　(2) aが実数でないなら、実数解はなしである

といえます。

　　そもそも、

　　この問題は、「実数解は存在しない」というのが回答ですから、問題としておかしいことには

　　なりませんが、最初からそういう意図を含んで作られた問題とはとても思えません。

　　というのは、後の２つの解が、とても高校レベルとしては汚いと言う表現が適当な複素数だからです。


　　したがって、問題作成者がミスで作った問題の言いわけをしているとしか思われません。



　　

　　

この回答への補足

すみません、そうです。“=0”です。
やはり、問題として何だか解なしでは気持ち悪いですね。

補足日時：2013/08/01 20:08

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/08/01 17:28

「実数」もなにもなく, 問題がおかしい. どこに「三次方程式」があるんだろう.

複素数係数 n次方程式は, 重複度を含めて (つまり 2重解なら 2個, 3重解なら 3個と数えると) 複素数の範囲で n個の解を持ちます (代数学の基本定理). ということで, 「実数解があるかどうか」とは無関係に, 例えば 3次方程式なら 3個の解を持ちます.

さらに, 実係数方程式である (実でない) 複素数を解に持つ場合, その共役複素数も解となります. ただし実係数でない場合にどうなるかはわかりません. 端的に言えば
x-i=0
という方程式では「共役な複素数」を解に持ちませんよね.

この回答への補足

すみません、“=0”が抜けておりました...。
必ずしも複素数解が共約とはいえないんですね。でも、確かに、おっしゃる例を考えてみたら納得です。

補足日時：2013/08/01 20:06