

(1)t=sinθ+cosθとおく。sinθcosθをtを用いて表せ。
(2)0≦θ≦πのとき、t=sinθ+cosθのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)0≦θ≦πのとき、θの方程式 2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0の
解の個数を、定数kが次の3つの値の場合について調べよ。
k=1 k=1-2√2 k=-1.9
【自分の解答】
(1)sinθcosθ=(t^2 -1)/2
(2)-1≦t≦√2
(3)方程式は、tで表すと、
t^2 -2t-1-k=0となる。
y=t^2 -2t-1=kとすると、
y=(t-1)^2 -2 (-1≦t≦√2)
y=(t-1)^2 -2 のグラフとy=kの交点の個数を考えると、
k=1のとき、解の個数は1個
k=1-2√2のとき、解の個数は2個
k=-1.9のとき、解の個数は2個
しかし、t=-1.9のとき、解は3個です。答えは
どうしてこうなるのか、解説お願いします(>_<)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>しかし、t=-1.9のとき、解は3個です。
答えは>どうしてこうなるのか、解説お願いします
(3)の問題文を良く見て下さい。
>θの方程式 2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0の
>解の個数
と書いてありますね。つまりθの解の個数を求めないといけません。
質問者さんの答えの解の個数は
tの方程式
t^2 -2t-1-k=0
の解の個数ですね。
> y=(t-1)^2 -2 のグラフとy=kの交点の個数を考えると、
> k=1のとき、解の個数は1個
> k=1-2√2のとき、解の個数は2個
> k=-1.9のとき、解の個数は2個
t=(√2)sin(θ+(π/4)) (0≦θ≦π) …(◆)
なので
k=-1.9のとき
t^2 -2t-1-(-1.9)=0
を解くと
t=0.68…, t=1.316…
(◆)より π/4≦θ+(π/4)≦5π/4 の範囲で
sin(θ+(π/4))=0.68…/√2<1/√2) →θの解は1個
sin(θ+(π/4))=1.316…/√2>1/√2 →θの解は2個
θの解の個数は合計3個
となります。
【確認】他の場合のtの解の個数とθの個数について調べてみて個数が同じか確認してみて下さい。
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