社員数100人以下の会社があります。 全社員を同じ人数の9グループに分けると7人余り、11グループに

社員数100人以下の会社があります。
全社員を同じ人数の9グループに分けると7人余り、11グループに分けると9人余りました。この社員数は何人でしょうか？

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/24 05:48

１グループの人数をｘとして、９グループに分けた時、7人余り、１グループの人数をｙとして、11グループに分けた時、９人余ったとすると、方程式①ができる。

9x+7=11y+9＿＿①
これより
9x－11y=2＿＿②
この式の右辺を0とした方程式は③で、その解は④である。
9x－11y=0＿＿③
x=11，y=9＿＿④
次に②を解くために、11÷9=1＿余り2、を利用して、⑤に変形する。
9(x－y)－2y=2＿＿⑤
ここで
x－y=0＿＿⑥
と置くと
y=－1となり、⑥よりx=－1となる。この解を⑦とすると
これはx，yがマイナスで問題の条件を満たさないが、①②をみたす。⑦と④を加えると、①の解が出る。
x=－1+11=10，y=－1+9=8＿＿⑧
9x+7=11y+9=97＿＿⑨
が答えとなる。
方程式②の解がひと組見つかったら、これに③の解を加えたものも②の解になることを「重ね合わせの原理」という。
次に②を解くために、割り算を利用して、係数の小さい方程式⑤に変形する方法を、ユークリッドの互除法という。ユークリッドの互除法を繰り返して使うと、かならず、ひと組の解が見つかる。それに右辺が0の式③の解④を何個か加えて、重ね合わせの原理で解を作れば、整数解を求める方程式(ディオファントス方程式という)はすべて解くことができる。ただし、ただし、左辺の係数の最大公約数で右辺が割り切れないときは、問題が不能である。

No.1 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2018/06/17 18:39

97人ですね。

9グループに分けると7人あまる。
→あと2人いれば9の倍数になる。

11グループに分けると7人あまる。
→あと2人いれば11の倍数になる。

よって、あと2人いれば、9と11の公倍数になる。100までの9と11の公倍数は99しかありませんから、社員の数は、99人－2人＝97人。