解と係数の関係

参考書には、二次方程式ax-2＋bx＋c＝0の解をα、βとすると、この式と
α＋β＝－b/aかつαβ＝c/aが同値であると書かれていたんですけど、
二次方程式において十分条件というのは、解と係数の関係の証明過程からわかるんですが必要条件をどう証明していいのかわかりません。
よかったら教えてもらえませんか？

No.1 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/09/04 15:32

証明は、a(x - α)(x - β) = 0　の左辺を展開して、元の方程式と係数を比較すれば明らか、と書いてある程度かもしれません。

そこで、少々くどい証明になりますが、納得できそうなものを作ってみました。

命題1
「ax^2 + bx + c = 0 （a≠0）の２つの解はα,βである」⇒「α＋β＝－b/a かつ αβ＝c/a」
証明
ax^2 + bx + c = 0（a≠0）が解 x = αを有するとする。
このとき、
aα^2 + bα + c = 0
であるから、
c = -aα^2 - bα
したがって、
ax^2 + bx + c = a(x - α)(x + α + (b/a))
と因数分解できる（右辺を展開すれば明らか）。よって、
ax^2 + bx + c = 0（a≠0）
のもうひとつの解は、
x = -α -(b/a)
であり、これがβである。
β=-α -(b/a)
ここで、
aαβ = -aα^2 - bα = c　
ゆえに、「α＋β＝－b/a かつ αβ＝c/a」である。
（証明終）
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命題2
「α＋β＝－b/a かつ αβ＝c/a」⇒「ax^2 + bx + c = 0 （a≠0）の２つの解はα,βである」
証明
b = -a(α + β), c = aαβ
これをax^2 + bx + c = 0に代入すると
ax^2 - a(α + β) + aαβ = 0
左辺を因数分解すると
a(x - α)(x - β) = 0
ゆえに、２つの解はα,βである。
（証明終）

No.3 回答者： springside 回答日時： 2005/09/04 15:44

命題ｐ：二次方程式ax^2+bx+c=0の解がα,βである。

命題ｑ：α+β=-b/a、αβ=c/aである。

ｐ→ｑ：

解の公式により、α={-b+√(b^2-4ac)}/2a、β={-b-√(b^2-4ac)}/2aとおくことができるから、

　α+β={-b+√(b^2-4ac)}/2a + {-b-√(b^2-4ac)}/2a
　　　=(-2b)/2a
　　　=-b/a

　αβ={-b+√(b^2-4ac)}/2a　×　{-b-√(b^2-4ac)}/2a
　　=[(-b)^2-{√(b^2-4ac)}^2] / (2a)^2
　　={b^2-(b^2-4ac)} / (4a^2)
　　=(4ac) / (4a^2)
　　=c/a

ｑ→ｐ：

ax^2+bx+c=0の両辺をa(≠0)で割ると、
　x^2+(b/a)x+c/a=0
となる。つまり、
　x^2-(α+β)x+αβ=0
なので、この式を因数分解すると、
　(x-α)(x-β)=0
　∴x=α、β

この回答へのお礼

おかげで理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2005/09/05 21:23

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2005/09/04 15:34

αとβは二次方程式

(x-α)(x-β)=0
の解であって
(x-α)(x-β)=x^2-(α＋β)x+αβ
なので
α＋β＝－b/aかつαβ＝c/aとなるときは
x^2-(-b/a)x+(c/a)=0
の解です．分母をはらって
ax^2+bx+c=0です