高校数学についてです。 以下の問題の(1)は何とか自力で解けたのですが、(2)(3)がわかりません。

高校数学についてです。

以下の問題の(1)は何とか自力で解けたのですが、(2)(3)がわかりません。
(1)はx^2 - kx + (3k - 9)となりました。
(2)は、D = k^2 - 12k + 36まで求めたのですけどそのあとがわかりません。

多項式 P(x)=x^3-(k-1)x^2+(3k-6)x+4k-6がある。ただし、kは実数の定数とする。

（1） P（x）をx＋1で割った商を求めよ。

（2）方程式 P（x）=0が異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲を決めよ。また、この3つの実数解の積が1となるようなkの値を来めよ。

（3）方程式P（x）=0が異なる3つの実数解をもち、すべての解が-2<x<1を満たすとき、kのとり得る値の範囲を求めよ。

よろしくお願い致します。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/28 16:46

#5さんへ

勘違いでした。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/28 13:29

←No.2 No.3

(2)後半
もうひとつの解が x = -1 だから、4k-6 = -1 だよ。
他は ok.

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/28 11:19

(1)

P(x)=x^3-(k-1)x^2+(3k-6)x+4k-6
を
x+1
で割った商は
x^2-kx+4k-6

(2)
f(x)=x^2-kx+4k-6
とすると
f(x)=0の判別式をDとすると
D
=k^2-16k+24
=(k-8)^2-40
=(k-8+2√10)(k-8-2√10)

P(x)=(x+1)f(x)=0
が異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲は

D=(k-8+2√10)(k-8-2√10)>0
k<8-2√10.または.k>8+2√10
&
f(-1)=1+k+4k-6=5k-5=5(k-1)≠0
k≠1
∴
k<1.または.1<k<8-2√10.または.k>8+2√10

この3つの実数解-1,α,βの積
-αβ=-(4k-6)=1
4k-6=-1
4k=5
k=5/4
1<k=5/4<8-2√10
となるようなkの値は

k=5/4

(3)
k<1.or.1<k<8-2√10.or.k>8+2√10
f(-2)=4+2k+4k-6=6k-2=2(3k-1)>0
3k-1>0
3k>1
k>1/3
f(1)=1-k+4k-6=3k-5>0
3k>5
k>5/3

5/3<k<8-2√10.または.k>8+2√10

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/28 07:46

訂正

k=7/4　は③を満たさないので、「この3つの実数解の積
が1となるようなk」は無い。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/28 07:42

(1)

　x²-kx+4k-6
です。

(2)
(1)から
　P=(x+1)(x²-kx+4k-6)
となるから、２項が２つの解を持てばよい。するとその判別式
　D=k²-4(4k-6)=k²-16k+24=(k-8)²-40>0
つまり、
　k<8-2√10≒1.67・・・・①
or
　k>8+2√10・・・・②
であればよい。

このとき、Pが重解を持つなら、x=-1 で
　0=x²-kx+4k-6=1+k+4k-6=5k-5 → k=1
となる。

したがって、kの条件は
　(①かつ k≠1 ) または ②・・・・・③
となる。

つぎに、根と係数の関係から、３つの解の積が1となるには
　4k-6=1 → k=7/4

(3)
すべての解が-2<x<1を満たすには、解x=-1は満たしてい
るから
　x²-kx+4k-6=0
の２つの解が、条件を満たせばよい。その2つの解は
　x={k±√(k²-16k+24)}/2
となる。この２つの解の大小関係から
　{k+√(k²-16k+24)}/2<1・・・・・④
　{k-√(k²-16k+24)}/2>-2・・・・・⑤
を満たせばよい。

④は
　√(k²-16k+24)<2-k → 12k>20 → k>5/3≒1.66・・・⑥
⑤は
　k+4>√(k²-16k+24) → 24k>8 → k>1/3
なので、⑥を満たせば、これは満たされている。

したがって、⑥と③をあわせて
　5/3<k<8-2√10
または
　k>8+2√10

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/28 05:22

P(x)=x^3-(k-1)x^2+(3k-6)x+4k-6

を
x+1
で割った商は

x^2-kx+4k-6