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本格的な複素数の理解のために二次方程式の虚数解はどのくらい役に立つものでしょうか。あるいは逆に本格的に複素数が理解ができた後に二次方程式の虚数解に新しい意味を見出したというようなご経験をお聞かせいただければと思います。

A 回答 (2件)

二次方程式の虚数解は、複素数の入り口です。

だから特に面白くもないし、「(虚数数の)理解に役立ったら儲けもの」ぐらいでしょか。

3次、4次と進んでいって、n次方程式がn個の解を持つことが分かった時点で少し面白くなるかも(私は「面白い」と感じることが理解を早め、理解を深めると信じている)。

私はグラフや図形が面白いと思うので、当時カリキュラムからハズれていた複素平面や円分方程式を独学で知って面白くなった。

二次方程式で虚数解を無理やり図示すると下図のようになる。

青は2次方程式 f(x)=0 から作った2次関数 y=f(x)のグラフ。ご存知のようにこれがx軸と交点を持たないときにf(x)=0は虚数解を持つ。

ここでxy平面に垂直にz軸(虚軸)を設定し、グラフy=f(x)の下に同じ形で上下をひっくり返し、対称軸の回りに90度ひねった赤いグラフを設定する。
すると赤い放物線とxz平面(複素平面)の交点(2個の赤い点)が、方程式f(x)=0の虚数解になる。

方程式f(x)=0が実数解を持つときは青いグラフが下に位置するので、赤い放物線とxz平面は交点を持たなくなる。

参考文献:科学新興社モノグラフ(何巻か忘れた)
「二次方程式の虚数解と複素数の理解について」の回答画像1

この回答への補足

直角三角形ABCでA^2+B^2=C^2のとき、たとえばB^2を移項してA^2=C^2+(Bi)^2になりますが、この場合一辺が虚数の直角三角形が想像されます。ご教示の論法でこのような三角形も図示できるでしょうか。常に現実の直角三角形に影のようにこのような想像的三角形(A^2を移項したものとともに)がついてまわっているのかと思います。

補足日時:2011/11/09 10:55
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この回答へのお礼

虚数解の図示はありがたいご教示でした。この図で勉強させていただきます。おそらく虚数解の図示と関係があるのではないかと思いますが補足のほうへ書かせていただきます。どうもありがとうございました。

お礼日時:2011/11/09 10:44

http://dospara.okwave.jp/qa7099785.html

の#4をごらんください。
マンデルブロート集合においても二次方程式が
でてきます。

しかも、複素数の議論に密接にかかわっています。
あなたの質問にピッ足しの事例です。
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この回答へのお礼

貴重なご教示ありがとうございます。きちんとした勉強をしたいと思っているのですが、できるかぎり努力いたします。

お礼日時:2011/11/10 14:29

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