統計学の質問【帰無仮説】
W大学のP学部において、自宅通学者の比率にについて調べたい。
P学部から100人の在籍者を無作為に選んで尋ねたところ、選ばれた学生の80人が自宅通学者であると回答した。これについて以下の問いに答えなさい。
選択肢の中からもっとも適切なものをひとつ選ぶこと。
P学部の全在籍者の自宅通学者の比率が0.85であるという帰無仮説を、0.85ではないという対立仮説に対して有意水準0.05で両側検定し、その結果を選択肢から選びなさい。
ヒント:母集団比率に関する検定の場合、分散は標本比率から推定できます(講義内容を確認してください)。母平均に関する検定の場合、データの全部ないし標本分散の値が問題文に記されています。
①帰無仮説は棄却される。
②帰無仮説は棄却されない。
③帰無仮説を棄却することも、しないこともできない。
答えは何ですか。
理由も教えてください。
私は②棄却されない だと考えました。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
No.6
- 回答日時:
No.4 にも記載したとおり、帰無仮説のもとでは標本平均 Xbarは N(60, 2) に従います。
従って、
P((Xbar - 60)/√2 > 1.645) = 0.05
⇔
P(Xbar > 60 + 1.645√2) = 0.05
より
60 + 1.645√2 = (K - 256)/(-4)
∴ K = -4×(60 + 1.645√2) + 256 ≒ 6.694
(対数尤度比の閾値は K と表記しました)
Xbar = 64 での対数尤度比は0なので、K以下。
よって、帰無仮説は棄却されます。
ついでに記載すると、この質問での問題文には
> ヒント:母集団比率に関する検定の場合、分散は標本比率から推定できます(講義内容を確認してください)。
と記載されていますが、帰無仮説のもとでは、母比率が0.85であることがわかっているので、棄却限界は
0.85 ± 1.96√{0.85×(1 - 0.85)/100}
で計算すべきです。
これは、0.78, 0.92であり、標本比率0.80はこれらの数値の区間内にあるので、帰無仮説は棄却されません。
No.5
- 回答日時:
前問の件、
gas2021さんのご指摘は、尤度比検定(対立仮説が等号で与えられたケース)に沿ったものか不明ですが、
私、まだどこかで計算間違いしていますかね。
検算をして、確認して下さいませ。
式の導出結果は、松嶋先生の本と照らして、間違いは無かったですが、代入計算でミスしているかも。
ただ、標本はちょうど両仮説の中点にあるので、棄却されないとしても、大きな過誤が生じるとは思えません。こんなどっちつかずのケースは棄却しないというのが、ネイマンピアソン流だと思います。
もし、間違っていたら、本当にすみません。
No.3
- 回答日時:
前問の件
>答えは「棄却されない」になるということでしょうか?
はい。観測値の対数尤度比0は、検定の閾値ー9.28より大きいですので、帰無仮説は棄却されません。
No.2
- 回答日時:
本問は、自宅通学者か、そうでないか、の二項分布と考えれば、
二項分布の平均はnp、分散はnp(1-p)ですので、
これを用いて正規分布近似をするのが一般的です。
ただし、注意点は、二項分布のpは0~1までの範囲しか取りませんが、正規分布はその外側まですそ野を引く分布です。ですから、5%以下とか95%以上の箇所では乖離が大きく使い物にならないのです。
そのため、製造現場の不良率などは、ロジット変換や逆正弦変換を行います。QC検定に出題されるくらいです。
実は二項検定は、Rでやると、10種類近くの近似方法の結果が表示されます。
さて、本ケースは、通常の正規分布近似で良いので、
分散16の正規分布で近似し、その95%信頼限界を求めます。
H0;p=0.85
H1;p≠0.85(両側検定)
α=0.05
観測値が信頼区間の範囲内であれば、帰無仮説が保留され、範囲外であれば棄却されます。
信頼限界は、85±1.96×√16=77.16,92.84
現在の観測値80はこの範囲内であるので、帰無仮説は棄却されません。
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