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x(π−x)をフーリエ級数展開してください。
その結果を用いて以下の等式を証明してください。
1/(1^3)−1/(3^3)+1/(5^3)−1/(7^3)+•••=π^3/32

gooドクター

A 回答 (2件)

f(x) = x(π−x) (0≦x≦π) (でいいのかな・・!?)


これだけから
1/(1^3)−1/(3^3)+1/(5^3)−1/(7^3)+・・・=π^3/32
に辿り着かせるためには可成り工夫がいる様に思う・・!

当方なりに考えてみた・・!
f(x) = x(π−x) (0≦x≦π)だと半周期分(・・!?)の様にしか見えないため、
もう半周期分を付け足して考え
f(x) = x(π+x) (-π≦x≦0)として
f(x)が(-π≦x≦πで)奇関数となるように取って、この区間でフーリエ級数展開してみる・・!
フーリエ級数を
f(x)~a0/2 +Σancos(nx)+bnsin(nx)として
手続きに従って係数a0 , an , bnを求めると
a0 = 0
an = 0
bn = -4/π・{1/n^3・(-1)^n-1/n^3}

よって
x(π−x)~-4/π・Σ[n=1~∞]{1/n^3・(-1)^n-1/n^3}sin(nx)
=(8/π)・Σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3・sin(2k-1)x}

x = π/2とすれば
π^2/4 = (8/π)・Σ[k=1~∞]{(-1)/(2k-1)^3}
∴Σ[k=1~∞]{1/(2k-1)^3} =π^3/32
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この回答へのお礼

よくわかりました!
ありがとうございますm(__)m

お礼日時:2017/06/14 16:54

ANo.1・・!


ちと記入漏れがあり訂正・・!
(-1)の冖乗を書き忘れた!

x(π-x)~-4/π・Σ[n=1~∞]{1/n^3・(-1)^n-1/n^3}sin(nx)
=(8/π)・Σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3・sin(2k-1)x}

x = π/2とすれば
π^2/4 = (8/π)・Σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3}
∴Σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3} =π^3/32
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この回答へのお礼

回答ありがとうございましたm(__)m

お礼日時:2017/06/14 16:54

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