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Σが二重になっている式の偏微分について

ある工学書中に、添付の画像の様な数式がありました。
私は数学があまり得意な方ではなく、
なぜ(1)式をajについて偏微分すると
(2)式ようになるのか、いま一つ理解できません。
特に、Σの前に出ている2がどこからきたのかが
気になります。

導出過程や参考になりそうな情報などありましたら、
御教授お願い致します。

「Σが二重になっている式の偏微分について」の質問画像

A 回答 (7件)

あ、かぶった。

失礼。
しかし、変更するなら総和変数のほうが…
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式(1)の j と式(2)の j は、同じ文字を使ってしまっているけれども、全く別のものです。


式(1)の j は、Σに閉じ込められていて、他の文字に置き換えが可能だけれども、
式(2)の j は、左辺で意味を持ちますからね。

違うものを同じ文字で書いていると混乱するので、
式(1)の方の j を、Σの性質を利用して、他の文字に置き換えてしまいましょう。
β = Σ[i=0…p] Σ[k=0…p] a(i)c(i,k)a(k)  …(1') とか。

式(1')を a(j) で偏微分すると、
∂β/∂a(j) = Σ[i=0…p] Σ[k=0…p] ∂{ a(i)c(i,k)a(k) }/∂a(j) ですが、
ΣΣ内の ∂{ a(i)c(i,k)a(k) }/∂a(j) を、積の微分公式をつかって微分すると、
∂{ a(i)c(i,k)a(k) }/∂a(j)
= { ∂a(i)/∂a(j) }c(i,k)a(k) + a(i){ ∂c(i,k)/∂a(j) }a(k) + a(i)c(i,k){ ∂a(k)/∂a(j) }
となります。

c(i,k) は定数だから ∂c(i,k)/∂a(j) = 0。
∂a(i)/∂a(j) は i=j のとき 1、i≠j のとき 0 ですね。
よって、
∂β/∂a(j) = Σ[k=0…p] c(j,k)a(k) + 0 + Σ[i=0…p] a(i)c(i,j)。
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これはいささか表記に問題がある問題です。


aj では無く、ak(0≦k≦p) での偏微分と考えると良いのではないかと思います。
cij は演算子では無く、ai(i=0→p)と独立な値と仮定します。
又、以下の関係が成り立つとします。
 cij = cji

与式を変形すると、
β = Σ[i=0→p]Σ[j=0→p]ai・cij・aj
  = Σ[i=0→p, j=0→p]ai・cij・aj
  = Σ[i=0→p, (j=0→p & j≠k)]ai・cij・aj
  +Σ[i=0→p, j=k]ai・cij・aj
  = Σ[(i=0→p & i≠k), (j=0→p & j≠k)]ai・cij・aj
  +Σ[i=k, (j=0→p & j≠k)]ai・cij・aj
  +Σ[(i=0→p & i≠k), j=k]ai・cij・aj
  +Σ[i=k, j=k]ai・cij・aj
  = Σ[(i=0→p & i≠k), (j=0→p & j≠k)]ai・cij・aj
  +Σ[j=0→p & j≠k]ak・ckj・aj
  +Σ[i=0→p & i≠k]ai・cik・ak
  +ak・ckk・ak
  = Σ[(i=0→p & i≠k), (j=0→p & j≠k)]ai・cij・aj
  +2Σ[i=0→p & i≠k]ai・cik・ak
  +ak・ckk・ak

最後の式を ak で偏微分すると、
一行目のΣは ak を含みませんので、ゼロになります。
その結果、
∂β/∂ak
  = 2Σ[i=0→p & i≠k]ai・cik
  +2ak・ckk
  = 2Σ[i=0→p]ai・cik
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まず、(1)式からαkに関する項だけを取り出しましょう。

添付の画像の(4)式になるはずです。それからαkについて偏微分すると、添付の画像の(5)式になるはず。そこで、cij=cjiが成り立てば、kをjに置き換えると(2)式のようになりますけど、条件にはcij=cjiかどうか書いてないようです。それについては補足説明をいただきたいですが。
「Σが二重になっている式の偏微分について」の回答画像4
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#2です。



添付がうまくいかなかったので、再度添付します。
「Σが二重になっている式の偏微分について」の回答画像3
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こんばんわ。



一見、a(j)をはずすだけやん!みたいに見えるのですが、
具体例を考えたりするとそうでないことが見えてきます。

なぜ、そのようなことになるかというと、a(i)と a(j)は同じ変数(数列)であって「入れ替えた」場合も考えないといけないからです。

具体的に p= 2としてみたとき、iと jの組合せを見てみると以下の 9とおりが出てきます。
(i, j)= (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)

(0, 0)となる項は、実際には a(0)* c(0,0)* a(0)となって、a(0)が 2つ含まれています。
a(0)で偏微分することを考えると、偏微分される項は
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0)

であり、先の (0, 0)のことを考えると、2a(0)* c(0,0)+ 2a(1)* c(1,0)+ 2a(2)* c(2,0)
となります。

iとか jというのは単に和をとる変数を表しているだけで、
実際には値が変化しているのだというのがポイントですね。


ちなみに、元のΣΣは添付のように書き下すこともできます。
後半のΣで、i< jとなる値についてのみ和をとるとしているのがポイントです。
このように書き下すと、偏微分が答えのようになるのも少しはわかるかと思います。
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Σ を使わずにわらわらと展開してみればわかると思う.

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