漸化式

ａ１＝１、ａ(ｎ＋１)＝ａｎ＋２＾ｎの一般項を求めたいのですが、階差型に持ち込めばいいというのは分かります。
ａ(ｎ＋１)－ａｎ＝２＾ｎとして計算するのですよね？恥ずかしながら、ここで止まっています(泣)この後を教えて欲しいのです・・・
簡単な事を聞いていると思いますが、回答お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/04/05 21:22

ti-zuさん、こんにちは。

ちょっと分かりづらいようなので考え方です。
階差数列に持ち込めばいいという着眼点は合っています。

a1=1,a[n+1]=a[n]+2^n
（分かりにくいので数列の添え字を[]で表しました）
このとき、
a[n+1]-a[n]=2^n
a[n]の階差数列b[n]をとると、
a[n+1]-a[n]=b[n]
b[n]=2^n

また、階差数列の公式から
a[n]=Σ(k=1,n-1)b[k]+a[1]
ですから、これを考えてみましょう。

a[n]=Σ(k=1,n-1)b[k]+a[1]
=2^1+2^1+2^3+・・・+2^(n-1)+1
=2^0+2^1+2^2+・・・+2^(n-1)
これは、初項１、公比２の等比数列の和になっていることが分かります。
その公式は
a*(1-r^n)/(1-r)
(a:初項、r:公比)
でしたから、求めるa[n]は
a[n]=(2^n-1)/(2-1)=2^n^-1

となって求められます。

No.3 回答者： stone_wash 回答日時： 2003/04/05 12:54

数列はあるいみ経験則の塊と思いますので、たくさん問題を解いてください♪

私なら、こう（↓）やります。

　　　　　a(n+1) - a(n) = 2^(n)
　　　　　a(n) - a(n-1) = 2^(n-1)
　　　　　a(n-1) - a(n-2) = 2^(n-2)
　　　　　　　　　　…
　　　　　a(3) - a(2) = 2^2
　　　　　a(2) - a(1) = 2^1
　＋)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　a(n+1)-a(1)=2^(n)+2^(n-1)+…+2^2+2^1
となります。あとは、わかるとおもいますので終わります。

上を見てわかりますよね？a(n+1)やa(n-1)が打ち消しあっていることが。

数学は公式覚えてといていると、なにかしらこまることがあります。公式の大元を考えていきましょう。
では、がんばってください。

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/04/05 12:04

bn=a(n+1)-anとおけばan=Σbk+a1 (ここでΣはkについて1からn-1までの和)。

Σbkは初項2公比2の等比級数だから等比級数の和の公式より
　　Σbk=２(２^(n-1) - 1)
よって
　　an=２(２^(n-1) - 1)+1=2^n - 1
で良いとおもいます。漸化式はもっと面白い問題があると思います

No.1 回答者： rei00 回答日時： 2003/04/05 11:46

落ち着いて考えてみて下さい。

　an = a(n-1) ＋ 2^(n-1)
　　　= a(n-2) ＋ 2^(n-2) ＋ 2^(n-1)
　　　・
　　　・
　　　・
　　　= a1 ＋ 2^1 ＋ 2^2 ＋ ・・・ ＋ 2^(n-2) ＋ 2^(n-1)
　　　= a1 ＋ Σ(k=1～n-1)(2^k)

　後は下記サイト（高校で学べない人のための数列）等を参考に御自分でどうぞ。

参考URL：http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/an_index.htm