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- 回答日時:
∫(0,∞){x/(exp(x)+1)}dx=π^2/12・・・・(1)
被積分関数を以下のように変形する。
x/(e^x+1) = x・Σ[k=1~∞](-1)^(k-1)・e^(-kx) (x≧0)
fk(x)=(-1)^(k-1)・x・e^(-kx) (k=1,2,3・・・)とすれば
Σ[k=1~∞]|fk(x)|は任意の0<a<bに対してa≦x≦bで一様収束して
Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)|fk(x)|dx}
= Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)x・e^(-kx)dx}
= Σ[k=1~∞]{[-1/k・xe^(-kx)](0,∞) + 1/k・∫(0,∞)e^(-kx)dx}
= Σ[k=1~∞]1/k^2n
は収束する。
よって
∫(0,∞){x/(e^x+1)}dx = Σ[k=1~∞]{(-1)^(k-1)・1/k^2} = π^2/12
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以下の事実を用いている!
φ(x),fk(x)(k=1,2,3・・・)が0<x<∞において連続且0<x<∞に含まれる
任意の閉区間においてΣ[k=1~∞]|fk(x)|が一様収束するものとする。
このとき
Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)|φ(x)||fk(x)|dx},∫(0,∞)|φ(x)|{Σ[k=1~∞]|fk(x)|}dx
のどちらか一方が収束すれば
Σ[k=1~∞]{∫(0,∞)φ(x)・fk(x)dx} = ∫(0,∞)φ(x){Σ[k=1~∞]fk(x)}dx
が成り立つ。
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