区分求積法の次の問題が分かりません。 lim[n→∞]Σ[k=1~n] √n/(n^2 + k^2)

区分求積法の次の問題が分かりません。

lim[n→∞]Σ[k=1~n] √n/(n^2 + k^2)

なんとか1/nでくくりだしてk/nの形を作ろうとしていますが、方針が定まりません。
なんとなく分母を√の中に含めてみましたが結局kとnの次数が合わず詰みました。

質問者からの補足コメント

• >>Tacosan
  分かりづらくてごめんなさい
  分子のみが‪√‬nです

  
    補足日時：2023/10/14 00:56

• >>Tacosan
  ‪‪‪√‬の中身はnのみです。‪√‬n。

    補足日時：2023/10/14 01:25

No.5 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/14 10:00

この形は一般に区分求積法で処理するから, #1 で指摘されているように

k/n の形をなんとかして作る
のが筋ではある. この場合だと分母が
n^2+k^2 = n^2[1+(k/n)^2]
の形になることを使う. なお #1 はちょっと危険が危ない.

ただし, 今の場合にはもっと簡単に処理ができる. 和の中は
(√n)/(n^2+k^2) < (√n)/n^2 = 1/n^1.5
だから, 和としては
Σ(k=1～n) (√n)/(n^2+k^2) < Σ(k=1～n) 1/n^1.5 = 1/n^0.5.
あと和全体はどう考えても非負だから, 結局
0 < Σ(k=1～n) (√n)/(n^2+k^2) < 1/n^0.5
という不等式ができて, ここで n→∞ とすれば 0 に収束する.

やってることは #1 の極限の右側
(1/n)Σ[k=1..n] 1/(1 + (k/n)^2)
に由来する積分
∫[0,1]{ 1/(1 + x^2) }dx
が定数になりますよってだけ (#1 の変形を正当化するためにはこの辺の議論がほしい) なんだけど, 変形としてはこっちの方が簡単な気がする.

この回答へのお礼

分かりやすく回答くださりありがとうございます!

お礼日時：2023/10/14 12:04

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/14 13:05

危ないかなあ...

有界閉区間での連続関数の積分だから
収束は自明だと思ったんだけど。
やはりヒトコトは必要かな。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/13 23:26

ちなみにだけど, 「√」の中身はなに? どこからどこまで?

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/13 19:48

間違えました。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/13 19:47

違います。

　1/(2n³/²)<√n/(n^2 + k^2)<1/n³/²

であり
　Σ1/n³/² → 2

この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます!

お礼日時：2023/10/13 22:59

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/13 19:27

区分求積法の問題なんですから、方針は

1/n でくくりだして k/n の形を作るの一手です。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] √n/(n^2 + k^2)
= lim[n→∞] (1/√n)・Σ[k=1..n] n/(n^2 + k^2)
= lim[n→∞] (1/√n)・(1/n)Σ[k=1..n] 1/(1 + (k/n)^2)
= 0・∫[0,1]{ 1/(1 + x^2) }dx
= ０．

この回答へのお礼

1/‪√‬nが0に収束するので結局は0ってことですね
難しく考えすぎました。ありがとうございます!

お礼日時：2023/10/13 22:59