ａ1=1,ａn+1=ａn+3n－1 この条件によって求められる数列｛ａn｝の一般項の求め方、まとめ方

ａ1=1,ａn+1=ａn+3n－1
この条件によって求められる数列｛ａn｝の一般項の求め方、まとめ方を教えて欲しいです

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/12/16 05:29

階差数列を利用します。

an+1 =an + 3n－1
an+1－an＝3n－1

bn=3n－1 とおくと、
n≧2 のとき、
an=a₁+Σ[k:1→n-1]bk
=1+Σ[k:1→n-1](3k－1)
=1+3Σ[k:1→n-1] k－Σ[k:1→n-1] 1
=1+3{(n－1)n/2}－(n－1)
=2/2 + 3(n－1)n/2－2(n－1)/2
={2+3(n－1)n－2(n－1)}/2
=(2+3n²－3n－2n+2)/2
=(3n²－5n+4)/2

n=1 のとき、
a₁=(3・1²－5・1+4)/2
=2/2
=1
よって、n=1 の時も成り立つ。

したがって、
an=(3n²－5n+4)/2

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/12/16 08:41

階差数列の公式

b[n] = a[n+1] - a[n] とするとき

2 ≦ n のとき
a[n] = a[1] + Σ[k=1→n-1]b[k]

を使って解きます。


(1) a[1] = 1 , a[n+1] = a[n] + 3n - 1

a[n+1] = a[n] + 3n - 1 より
a[n+1] - a[n] = 3n - 1

2 ≦n のとき
a[n]
= a[1] + Σ[k=1→n-1]{3k - 1}
= 1 + 3・(n - 1){(n - 1) + 1}/2 - (n - 1)
= 1 + (3n - 2)(n - 1)/2

ヤフー知恵袋より。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/15 23:18

ａ(1) = 1,

ａ(n+1) = ａ(n) + 3n - 1
ってことですかねえ...
それなら
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
を利用して式から n の項を消すと、
{ ａ(n+1) - (3/2)(n+1)^2 } = { ａ(n) - (3/2)n^2 } - 5/2.
これは
ａ(n) - (3/2)n^2 という数列が
公差 -5/2 の等差数列だということだから、
ａ(n) - (3/2)n^2 = { a(1) - (3/2)1^2 } + (-5/2)(n - 1).
式を整理すると、
ａ(n) = (3/2)n^2 - (5/2)n + 2.