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(1)1円、5円、10円の硬貨をとりまぜて合計10n円にするしかたは(n+1)^2通りであることを証明せよ。n:整数です。
(2)さらに50円玉を加えて合計1000円にするしかたは何通りあるか?

という問題なんですけど、10円玉一枚、5円玉二枚、五円玉一枚+1円玉五枚、1円玉十枚に分けてみたんですけど重複がでちゃって・・・

どなたか回答お願いします!!

A 回答 (3件)

(1)1円、5円、10円の硬貨をとりまぜて合計10n円にするしかたは(n+1)^2通りであることを証明せよ。

n:整数です。
10円をn枚使う・・・1通り
10円をn-1枚使う・・・3通り(5円を2,1,0枚使う)
10円をn-2枚使う・・・5通り(5円を4,3,2,1,0枚使う)
・・・
10円をn-k枚使う・・・2k+1通り(5円を2k、・・・4,3,2,1,0枚使う)
・・・
10円をn-n枚使う・・・2n+1通り(5円を2n、・・・4,3,2,1,0枚使う)
全部で Σ(k=0~n){2k+1}=(n+1)^2 となる

(2)さらに50円玉を加えて合計1000円にするしかたは何通りあるか?
50円を20枚使う・・・1通り
50円を20-1枚使う・・・(5+1)^2通り 1円、5円、10円の硬貨をとりまぜて合計10*5円払う
・・・
50円を20-k枚使う・・・(k+1)^2通り 1円、5円、10円の硬貨をとりまぜて合計10*5k円払う
・・・
50円を20-20枚使う・・・(100+1)^2通り
全部で Σ(k=0~20){5k+1}^2 となる
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この回答へのお礼

ありがとうございます。お礼遅くなってごめんなさい。助かりました。

お礼日時:2006/10/12 16:23

#1です。

訂正です。
誤: 50円を20-k枚使う・・・(k+1)^2通り 1円、5円、10円の硬貨をとりまぜて合計10*5k円払う
正: 50円を20-k枚使う・・・(5k+1)^2通り 1円、5円、10円の硬貨をとりまぜて合計10*5k円払う
ついでに計算間違いがなければ Σ(k=0~20){5k+1}^2=73871
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(1)もっとスマートな考え方があると思うのですが手っ取り早く


やっつけるなら、

今、1円と5円玉で10k円にする組み合わせを考えます。(0≦k≦n)
ここで5円玉の枚数は
0,2,・・・,2k-1,2k
(2k+1)通り有ります。この時、1円玉は1通りです。
また、この状態で10n円にする10円玉の選び方も1通りです。
よって組み合わせ方は
Σ[k=0→n](2k+1)=(n+1)^2

(2)(1)を踏まえると50円玉は0枚から20枚まであり、m枚の時には
10,5,1円玉の組み合わせは
{(1000-50m)/10+1}^2=(101-5m)^2

よって組み合わせは

Σ[m=0→20](101-5m)^2=Σ[m=0→20](10201-1010m+25m^2)
=10201*Σ[m=0→20]1-1010*Σ[m=0→20]m+25*Σ[m=0→20]m^2
=10201*21-1010*20*21/2+20*21*41/6=73871
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この回答へのお礼

遅くなってごめんなさい。回答ありがとうございます。助かりました。

お礼日時:2006/10/12 16:25

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